2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学 自主招生（三校联招）试题
数学部分
1．（仅文科做）0???，求证：sin????tan?．
2．AB为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB最长为
3．AB为y?1?x2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值．（25分）
4．向量OA与OB已知夹角，OA?1，OB?2，OP?(1?t)OA，OQ?tOB，0≤t≤1．PQ在
t0时取得最小值，问当0?t0??25?1．（25分） 21时，夹角的取值范围．（25分） 5?，使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列．（25分） 2
5．（仅理科做）存不存在0?x?
2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学 自主招生（三校联招）试题 数
学部分解析
1．（仅文科做）0???，求证：sin????tan?． 【解析】 不妨设f(x)?x?sinx，则f(且当0?x?0)0?，
在0?x??时，f?(x)?1?cosx?0．于是f(x)2?2?上单调增．∴f(x)?f(0)?0．即有x?sinx． 2同理可证g(x)?tanx?x?0．
g(0)?0，当0?x??1?时，g?(x)?2?1?0．于是g(x)在0?x?上单调增。 2cosx2∴在0?x??上有g(x)?g(0)?0。即tanx?x。 2注记：也可用三角函数线的方法求解．
1
2．AB为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB最长为【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在
的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
⑴当A,B中有一点位于P点时，知另一点位于R1或者R2时值为PR1；当有一点位于O点时，ABmax?OP?PR1；
⑵当A,B均不在y轴上时，知A,B必在y轴的异侧方可能取到最大值（否则取A点关于y轴的对称点A?，有
?B）AB?A．
5?1．（25分） 2PQ有最大
R2OR1PBQ不妨设A位于线段OR2上（由正五边形的中心对称性，知这样
R2的假设是合理的），则使AB最大的B点必位于线段PQ上．
AOR1且当B从P向Q移动时，AB先减小后增大，于是ABmax?AP或AQ； 对于线段PQ上任意一点B，都有BR2≥BA．于
ABmax?R2P?R2Q
Ex-1H1Gx11I1F是
由⑴，⑵知ABmax?R2P．不妨设为x． 下面研究正五边形对角线的长．
如右图．做?EFG的角平分线FH交EG于H． 易知?EFH??HFG??GFI??IGF??FGH?． 于是四边形HGIF为平行四边形．∴HG?1． 由角平分线定理知
EFFG??5EHx11?5??．解得x?． 1x?1HG23．AB为y?1?x2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值．（25分） 【解析】 不妨设过A点的切线交x轴于点C，过B点的切线交x轴于点D，直线AC与直
线BD相交于点E．如图．设B(x1,y1),A(x2,y2)，
且有y2?1?x22,y1?1?x12,x1?0?x2．
y由于y???2x，
于是AC的方程为2x2x?2?y2?y；① BD的方程为2x1x?2?y1?y． ② E联立AC,BD的方程，解得E(y1?y2,1?x1x2)．
2(x2?x1)ACOBDx 2
2?y2,0)； 2x22?y1对于②，令y?0，得D(,0)．
2x1对于①，令y?0，得C(2?y12?y21?x121?x22???于是CD?． 2x12x22x12x21S?ECD?CD(1?x1x2)．不妨设x1?a?0，?x2?b?0，则
211?a21?b2111S?ECD?(?)(1?ab)?(2a?2b???a2b?ab2)
4ab4ab1111?(a?b)(2?ab?)≥?2ab?(2?ab?) ③ 4ab4ab不妨设ab?s?0，则有
1111111S?ECD?(s3?2s?)?(s3?s?..?s??...?)
2s2339s9s 6个 9个
12411619161161383≥?16??s??s)???]?8?()?8??)2?3． ④ 239s339333又由当x1?a?,x2??b??, s?时，③，④处的等号均可取到．
3338∴(S?ECD)min?3．
911注记：不妨设g(s)?(s3?2s?)，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．
2s1111由g?(s)?(3s2?2?2)知当0?s2?时g?(s)?0；当?s2时g?(s)?0．
2s33333则g(s)在(0,)上单调减，在(,??)上单调增．于是当s?时g(s)取得最小值．
3334．向量OA与OB已知夹角，OA?1，OB?2，OP?(1?t)OA，OQ?tOB，0≤t≤1．PQ在
1时，夹角的取值范围．（25分） 5【解析】 不妨设OA，OB夹角为?，则OP?1?t,OQ?2t，令 t0时取得最小值，问当0?t0?g(t)?PQ?(1?t)2?4t2?2?(1?t)?2tcos??(5?4cos?)t2?(?2?4cos?)t?1．
21?2cos?1?2x51?2cos?1．而f(x)?在(?,??)上单调增，故?1≤≤．
5?4cos?5?4x45?4cos?31?2cos?11?2cos?1?2?当0≤． ≤时，t0??(0,)，解得???5?4cos?35?4cos?523其对称轴为t?当?1≤1?2cos??0时，g(t)在[0,1]上单调增，于是t0?0．不合题意．
5?4cos??2?]． 23于是夹角的范围为[,5．存不存在0?x??，使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列．（25分） 2(cosx?sinx)(cosx?sinx)【解析】 不存在；否则有cosx?sinx?cotx?tanx?，
sinxcosxcosx?sinx则cosx?sinx?0或者1?．
sinxcosx 3
若cosx?sinx?0，有x?．而此时若1??422,,1,1不成等差数列； 22cosx?sinx，有(sinxcosx)2?1?2sinxcosx．解得有sinxcosx?1?2．
sinxcosx11而sinxcosx?sin2x?(0,]，矛盾！
222011年综合性大学（北约13校）自主选拔录取联合考试 数学试题 请注意：文科考生做1至5题，理科考生做3至7题。每题20分，共100分。 【试题解答】 1.已知平行四边形的其中两条边长为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长。 解析：平行四边形的对角线的平方和等于它四边的平方和，设另一条对角线长为x，所以x2?62?2?32?52?,所以x?42。 2.求过抛物线y?2x2?2x?1和y??5x2?2x?3的交点的直线方程。 解析： 2??y?2x?2x?1解法一：由?2??y??5x?2x?3?1?，?1??5??2?得6x?7y?1?0，所以过抛物线?2?y?2x2?2x?1和y??5x2?2x?3的交点的直线方程6x?7y?1?0。
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??2?422?42x?x?2????y?2x?2x?1?1???77解法二：由?得或，所以过抛物线??2??5?242??5?242?y??5x?2x?3?2??y?y???4949??y?2x2?2x?1和y??5x2?2x?3的交点的直线方程6x?7y?1?0。 3.在等差数列{an}中，a3??13,a7?3，数列{an}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的最小项，并指出其值为何？ 解析：因为a3??13,a7?3,所以d?4，所以an?4n?25， ?an?4n?25?02125法一：由?得?n?，又n?N，所以n?6，所以44?an?1?4?n?1??25?0?Sn?min?S6?6?a1?a6???66。 22n?a1?an?23?529?法二：由Sn?，所以当n?6，?Sn?min?S6??66。 ?2n2?23n?2?n???248?? 4.在?ABC中，a?b?2c，求证：?C?600. 2?a?b?223212a?b?a?b?ab??222a?b?c2??42?解析：因为cosC? ?2ab2ab2ab??312ab?ab12?，当且仅当a?b时，\?\成立，又因为C??0,??，所以?C?600。 ?422ab
5.是否存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16？
解析：设存在四个正实数a,b,c,d使得他们两两乘积为2，3，5，6，10，16，因为四个正实数a,b,c,d的两两乘积为ab,ac,ad,bc,bd,cd，把这些乘积乘起来，所以
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