圆锥曲线大题训练（面积定点定值）
1．椭圆??:
??24
+??2=1的右顶点和上顶点分别为??、??,斜率为的直线??与椭圆??交于??、??
2
1
两点(点??在第一象限).
(Ⅰ)求证：直线????、????的斜率之和为定值； (Ⅱ)求四边形????????面积的取值范围.
2．已知椭圆C:
??2??
2+
??2??2=1 (a>b>0)的离心率为,且过点( 2,1).
22
（1）求椭圆C的方程； （2）设直线：??=
3．已知椭圆??:
??2??
2+
2??2
+??交C于A、B两点，0为坐标原点，求△OAB面积的最大值.
??2??2=1 ??>??>0 的离心率为，且经过点 3,1
3
6（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线??交椭圆于????两点，??为坐标原点，求????????面积的最大值。
4．设椭圆??:??2+??2=1 ??>??>0 ，右顶点是?? 2,0 ，离心率为2. （1）求椭圆??的方程；
=0，求证:直线??过定（2）若直线??与椭圆交于两点??,??(??,??不同于点??)，若 ?????????点，并求出定点坐标.
5．已知点??(0,1)，过点??(0,?1)作与??轴平行的直线??，点??为动点??在直线??1上的投影， = . 且满足 ??????????????????（1）求动点??的轨迹??的方程；
（2）已知点??为曲线??上的一点，且曲线??在点??处的切线为??2，若??2与直线??1相交于点??，试探究在??轴上是否存在点??，使得以????为直径的圆恒过点??？若存在，求出点??的坐标，若不存在，说明理由.
试卷第1页，总2页
??2
??2
1
6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆??:??2+??2=1(??>??>0)的离心率为2，椭圆上动点??到一个焦点的距离的最小值为3( 2?1)． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知过点??(0,?1)的动直线l与椭圆C交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．
??2??2
2
7．已知抛物线??:??2=2????过点?? 1,1 ．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求过点?? 3,?1 的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合）．设直线AM，AN的斜率分别为??1，??2，求证：??1???2为定值．
8．已知椭圆??：??2+??2=1(??>??>0)的离心率为2，点??为左焦点，过点??作??轴的垂线交椭圆??于??、??两点，且 ???? =3. （1）求椭圆??的方程；
（2）若M,N是椭圆??上异于点A,B的两点，且直线AM,AN的倾斜角互补，则直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
9．已知两点??(?2,0),??(2,0)，直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为?4.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P的斜率不为零且互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R（异于点P），求直线QR的斜率.
3
??2
??2
1
试卷第2页，总2页
参考答案
1．(Ⅰ)设直线??方程为：??=2??+??代入椭圆??:??+??2=?2?? 设??(??1,??1),??(??2,??2),则 1.
??1??2=2??2?2从而??????+??????=??
??1
1
1
??24
+??2=1并整理得：??2+2????+2??2?2=0
+?2
??2?1??2
=
??1??2+(???1)(??1+??2?2)
(??1?2)??2
=
2??2?2+(???1)(?2???2)
(??1?2)??2
=0
所以直线????、????的斜率之和为定值0. (Ⅱ)设??:
??24
+??2=1的左顶点和下顶点分别为??、??,则直线??、????、????为互相平行的直线,
21 1+
4
所以??、??两点到直线??的距离等于两平行线????、????间的距离??=.
1
∵|????|= 1+??2|??2???1|= 1+|??2???1|
4∴??????????=2???|????|=|??2???1|= 8?4??2,又??点在第一象限,∴?1
??24
22
1
= 1???2，且??2+??2=1，
??221
+
??22
=1.
2??2
（2）设?? ??1??1 ,?? ??2??2 ，将??=
+??代入??的方程，
整理得??2+ 2????+??2?2=0， ??=2??2?4 ??2?2 >0,∴??2<4， ∴??1+??2=? 2??,??1??2=??2?2， ??1??2= 2??1+?? 2??2+?? =
2 2??2?22
，
?? 1+??2 ???? = 1+??2 ??1+??2 2?4??1??2= 12?3??2，??=??=2 ???? ??=
1
2 ??2 4?2
=
2??23
，
??2 ≤
22
×
??2+4???2
2
= 2，
当且仅当??2?2时取等号， ∴????????面积的最大值为 2. 3．（Ⅰ）依题意有：
??==31
+=1??2??2????
63
，又??2=??2+??2，解得：??= 6,??= 2,??=2
所以：所求椭圆方程为6+
??2??22
=1
答案第1页，总5页
（Ⅱ）椭圆的右焦点?? 2,0 ，因为直线??斜率不可能为0，最可设直线??的方程为???????+2＝0， 由
??2??2
+=162??=????+2
可得： ??2+3 ??2+4?????2=0
?4????2+3
设?? ??1,??1 ,?? ??2,??2 ，则??1+??2=于是： ??1???2 = ??1+??2
1
,??1??2=
?2??2+32 2 2?4???22 6 ??+1?4??1??2= ??2+3 ?4×??2+3=??2+3 2 6 ??2+1??2+32 62??+??所以：??=2× ???? × ??1???2 =
2 6 2令??= ??2+1≥1，所以??=??2+2=
2??
2 6??≤2= 3 当且仅当??=即??= 2即??=±1时取等号 所以，????????面积的最大值是 3． 4．（1）右顶点是?? 2,0 ，离心率为，
21
所以??=2,??=2，∴??=1，则??= 3， ∴椭圆的标准方程为
??24
??1
+
??23
=1.
（2）当直线????斜率不存在时，设??????:??=??， 与椭圆方程
??24
+
??23
=1联立得： ?? = 3 1?
??24
， ???? =2 3 1?
??24
??24
，
设直线????与??轴交于点??， ???? = ???? ，即 3 1?∴??=或??=2(舍），
72
=2???，
∴直线??过定点 7,0 ；
当直线????斜率存在时，设直线????斜率为??，?? ??1,??1 ,?? ??2,??2 ，则直线????:??=????+?? ??≠0 ，与椭圆方程??1+??2=?
8????4??2+3
??24
2
+
??23
=1联立，得 4??2+3 ??2+8??????+4??2?12=0，
，??1??2= ????1+?? ????2+?? =??2??1??2+???? ??1+??2 +??2，
，??1??2=?
4??2?124??2+3
??= 8???? 2?4 4??2+3 4??2?12 >0,??∈??， =0，则 ??1?2,??1 ??2?2,??2 =0， ?????????
即??1??2?2 ??1+??2 +4+??1??2=0， ∴7??2+4??2+16????=0， ∴??=?7??或??=?2??，
2
答案第2页，总5页
∴直线??????:??=?? ??? 或??=?? ???2 ，
7∴直线过定点 7,0 或 2,0 舍去； 综上知直线过定点 ,0 .
7
5．试题解析：(1)设??(??,??)，由题得??(??,?1) 又??(0,1)，
∴ ????=(???,1???)，
=(??,?2)， ????=(0,?1???),???? = ， 由 ??????????????????
=0，即(???,?2??)?(??,?2)=0???2=4??， 得( ????+ ????)?????∴轨迹??的方程为??2=4??. （2）设点??(0,??)，??(??0,4)， 由??=4??2，得??′=2??， ∴????2=??′|??=??0=2??0， ∴直线??2的方程为??=令??=?1，可得??=
??
2??0
2??0
2
2
2
11
1
4
==
??02
(?????0) ???，
0
??20?2
2
??02
2
??02
∴??点的坐标为(20???,?1)，
0
=??0?2?(1+??)(??0???) ?????∴ ????24=(1???)
2??0
22
4
+??2+???2=0，（*）
1???=0
要使方程（*）对??0∈??恒成立，则必有 2解得??=1.
??+???2=0即在??轴上存在点??，使得以????为直径的圆恒过点??，其坐标为(0,1). 6．试题解析：（1）由题意??=
??
2，故??2
= 2??，又椭圆上动点??到一个焦点的距离的最小值
为3( 2?1)，所以?????=3 2?3，解得??=3，??=3 2，所以??2=??2???2=9， 所以椭圆C的标准方程为18+
??2
??29
=1.
（2）当直线l的斜率为0时，令??=?1，则??=±4，此时以AB为直径的圆的方程为??2+(??+1)=16．
答案第3页，总5页
高考理科数学圆锥曲线面积定点定值问题
