江苏省南京市2019-2020学年高考数学教学质量调研试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．要得到函数y?A．向左平移C．向右平移【答案】A 【解析】 【分析】
运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得y??2sin?2x?3cos2x?sin2x的图像，只需把函数y?sin2x?3cos2x的图像（ ）
B．向左平移D．向右平移
?个单位 2?127?个单位 12?个单位 3个单位
????3??以及y?2sin?2x??????,按四个选项分3?别对y?2sin?2x?【详解】 解：
????3??变形，整理后与y??2sin?2x??????对比，从而可选出正确答案. 3??3?1??????y?3cos2x?sin2x?2?cos2x?sin2x??2sin??2x???2sin?2x??
23??3???2??1?3???y?sin2x?3cos2x?2?sin2x?cos2x?2sin2x????. ?2?23????对于A：可得y?2sin?2?x?故选:A. 【点睛】
本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.
2．若复数z?(2?i)(1?i)（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 【答案】A 【解析】 【分析】
将z 整理成a?bi的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限. 【详解】
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
????????????????2sin2x?????2sin2x??????. 2?3?33?????解：z?(2?i)(1?i)?2?i?3i?1?3i，所以z所对应的点为?1,3?在第一象限.
2故选:A. 【点睛】
本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把i2 当成1进行计算. 3．已知i是虚数单位，则
（ ）
A．【答案】D 【解析】 【分析】
B． C． D．
利用复数的运算法则即可化简得出结果 【详解】
故选 【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。 4．函数f?x??ln?x2?1?x3的大致图象是
A． B． C． D．
【答案】A 【解析】 【分析】
利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】
由题意可知函数f?x?为奇函数，可排除B选项； 当x?0时，f?x?＜0，可排除D选项；
当x?1时，f?1??ln2，当x?3时，f(3)?ln10ln10,ln2?， 2727f?3?，可排除C选项， 即f?1?＞?故选：A 【点睛】
本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．
5．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N除以正整数m所得的余数是n”记为“N?n(modm)”，例如7?1(mod2).执行该程序框图，则输出的n等于（ ）
A．16 【答案】B 【解析】 【分析】
B．17 C．18 D．19
由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，代入四个选项进行验证即可. 【详解】
解：由程序框图可知，输出的数应为被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整数. 若输出n?16 ，则16?1?mod3?不符合题意，排除； 若输出n?17，则17?2?mod3?,17?2?mod5?，符合题意. 故选:B. 【点睛】
本题考查了程序框图.当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答. 6．已知抛物线C:y2?4x和点D(2,0)，直线x?ty?2与抛物线C交于不同两点A，B，直线BD与抛物线C交于另一点E．给出以下判断： ①以BE为直径的圆与抛物线准线相离；
②直线OB与直线OE的斜率乘积为?2；
③设过点A，B，E的圆的圆心坐标为(a,b)，半径为r，则a2?r2?4． 其中，所有正确判断的序号是（ ） A．①② 【答案】D 【解析】 【分析】
对于①，利用抛物线的定义，利用d?B．①③
C．②③
D．①②③
d1?d2|BF|?|EF||BE|???R可判断； 222对于②，设直线DE的方程为x?my?2，与抛物线联立，用坐标表示直线OB与直线OE的斜率乘积，即可判断；
对于③，将x?ty?2代入抛物线C的方程可得，yAy1?8，从而，yA??y2，利用韦达定理可得
|BE|?2|BE|2?16m4?48m2?32，再由r2?|MN|2????，可用m表示r，线段BE的中垂线与x轴的
?2?交点（即圆心N）横坐标为2m2?4，可得a，即可判断. 【详解】
如图，设F为抛物线C的焦点，以线段BE为直径的圆为M，则圆心M为线段BE的中点．
2
设B，E到准线的距离分别为d1，d2，eM的半径为R，点M到准线的距离为d， 显然B，E，F三点不共线， 则d?d1?d2|BF|?|EF||BE|???R．所以①正确． 222由题意可设直线DE的方程为x?my?2， 代入抛物线C的方程，有y?4my?8?0． 设点B，E的坐标分别为?x1,y1?，?x2,y2?，
2则y1?y2?4m，y1y2??8．
所以x1x2??my1?2??my2?2??my1y2?2m?y1?y2??4?4．
2y1y2??2．所以②正确． 则直线OB与直线OE的斜率乘积为
x1x2将x?ty?2代入抛物线C的方程可得，yAy1?8，从而，yA??y2．根据抛物线的对称性可知，
A，E两点关于x轴对称，所以过点A，B，E的圆的圆心N在x轴上．
2由上，有y1?y2?4m，x1?x2?4m?4，
则|BE|2??x1?x2??4x1x2??y1?y2??4y1y2?16m4?48m2?32．
所以，线段BE的中垂线与x轴的交点（即圆心N）横坐标为2m2?4，所以a?2m2?4．
22x1?x2??y1?y2??|BE|??242于是，r2?|MN|2???2m?4????????4m?12m?8，
2??2??2??2代入x1?x2?4m?4，y1?y2?4m，得r2?4m4?16m2?12，
222所以a2?r2?2m2?4所以③正确． 故选：D 【点睛】
????4m24?16m2?12??4．
本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.
7．三棱锥S?ABC中，侧棱SA?底面ABC，AB?5，BC?8，?B?60?，SA?25，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A．
64? 3B．
256? 3C．
436? 3D．20483? 27【答案】B 【解析】
由题，侧棱SA?底面ABC，AB?5，BC?8，?B?60?，则根据余弦定理可得
BC772r???r?1BC?52?82?2?5?8??7 ，VABC的外接圆圆心sinB33
22三棱锥的外接球的球心到面ABC的距离d?1SA?5, 则外接球的半径2?7?R????3??2?5?2256642S?4?R?? ，则该三棱锥的外接球的表面积为?33点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R 公式是解答的关键．
x2y2y2x28．连接双曲线C1:2?2?1及C2:2?2?1的4个顶点的四边形面积为S1，连接4个焦点的四边形
abba的面积为S2，则当
S1取得最大值时，双曲线C1的离心率为（ ） S2B．A．5 232 2C．3 D．2
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求
S1出其面积，利用重要不等式求得取得最大值时有a?b，从而求得其离心率.
S2【详解】
x2y2y2x2双曲线2?2?1与2?2?1互为共轭双曲线，
baab四个顶点的坐标为(?a,0),(0,?b)，四个焦点的坐标为(?c,0),(0,?c)，
1?2a?2b?2ab， 212四个焦点连线形成的四边形的面积S2??2c?2c?2c，
2四个顶点形成的四边形的面积S1?S12ababab1????， 所以222S22ca?b2ab2当
S1c取得最大值时有a?b，c?2a，离心率e??2， S2a故选：D. 【点睛】
该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.
9．已知m，n是两条不重合的直线，?，?是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ） A．若m//?，?//?，则m//?或m??
B．若m//n，m//?，n??，则n//? C．若m?n，m??，n??，则???
D．若m?n，m??，则n//? 【答案】D 【解析】 【分析】
根据线面平行和面面平行的性质，可判定A；由线面平行的判定定理，可判断B；C中可判断?，?所成的二面角为900；D中有可能n??，即得解. 【详解】
选项A：若m//?，?//?，根据线面平行和面面平行的性质，有m//?或m??，故A正确；
选项B：若m//n，m//?，n??，由线面平行的判定定理，有n//?，故B正确； 选项C：若m?n，m??，n??，故?，?所成的二面角为900，则???，故C正确； 选项D，若m?n，m??，有可能n??，故D不正确. 故选：D 【点睛】
本题考查了空间中的平行垂直关系判断，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题.
x2y210．已知双曲线E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线E上的一点，且
ab|PF2?2PF1|.若直线PF2与双曲线E的渐近线交于点M，且M为PF2的中点，则双曲线E的渐近线方
程为( )
1A．y??x
3【答案】C 【解析】 【分析】
B．y??1x 2C．y??2x D．y??3x
△PF1F2的中位线，可得OM?a，在△OMF2中，利用由双曲线定义得PF2?4a，PF1?2a，OM是
余弦定理即可建立a,c关系，从而得到渐近线的斜率. 【详解】
根据题意，点P一定在左支上.
由PF2?2PF2?PF1?2a，得PF1及PF1?2a，PF2?4a， 再结合M为PF2的中点，得PF1?MF2?2a，
又因为OM是△PF1F2的中位线，又OM?a，且OM//PF1， 从而直线PF1与双曲线的左支只有一个交点.
222a?c?4a.——① 在△OMF2中cos?MOF2?2ac由tan?MOF2?ba，得cos?MOF2?. ——② acbc2由①②，解得2?5，即?2，则渐近线方程为y??2x.
aa故选：C. 【点睛】
本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.
11．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）
A．16?
B．
32? 3205? 3C．
642? 3D．
【答案】C 【解析】 【分析】
作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积. 【详解】
如图为几何体的直观图，上下底面为腰长为2的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为
r?22，所以体积为V?故选：C 【点睛】
4??223??3?642?. 3本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定.
12．已知m为一条直线，?,?为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若m∥?,?∥?，则m∥? C．若m∥?,???，则m?? 【答案】D 【解析】
A. 若m//?,?//?，则m//?或m??，故A错误； B. 若???,m??，则m//?或m??故B错误； C. 若m//?,???，则m//?或m??，或m与?相交； D. 若m??,?//?，则m??，正确. 故选D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆O:x2?y2?4，直线l与圆O交于P,Q两点，A(2,2)，若|AP|2?|AQ|2?40，则弦PQ的长度的最大值为_______. 【答案】22 【解析】 【分析】
设M(x,y)为PQ的中点，根据弦长公式，只需|OM|最小，在VAPM,VAQM中，根据余弦定理将
B．若???,m??，则m?? D．若m??,?∥?，则m??
|AP|2,|AQ|2表示出来，由?AMP??AMQ??，得到
22|AP|2?|AQ|2?2|AM|2?2|MQ|2，结合弦长公式得到|AM|?|OM|?16，求出点M的轨迹方程，
即可求解. 【详解】
设M(x,y)为PQ的中点，
在△APM中，|AP|?|AM|?|MP|?2|AM||MP|cos?AMP，① 在VAQM中，|AQ|?|AM|?|MQ|?2|AM||MQ|cos?AMQ，②
222222Q?AMP??AMQ??,?cos?AMP?cos?AMQ?0
①?②得|AP|2?|AQ|2?2|AM|2?|MP|2?|MQ|2?2|AM|2?2|MQ|2， 即40?2|AM|?2|OQ|?|OM|2?22?，
20?|AM|2?4?|OM|2，|AM|2?|OM|2?16.
(x?2)2?(y?2)2??x2?y2??16，得x?y?2?0.
所以|OM|min?2?2，|PQ|max?22. 2故答案为：22.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系、相交弦长的最值，解题的关键求出点M的轨迹方程，考查计算求解能力，属于中档题.
14．已知“在?ABC中，
abc??”，类比以上正弦定理，“在三棱锥A?BCD中，侧棱AB与sinAsinBsinCS?BCD5???________． 平面ACD所成的角为、与平面BCD所成的角为，则
S?ACD312【答案】32?6 2【解析】 【分析】
类比，三角形边长类比三棱锥各面的面积，三角形内角类比三棱锥中侧棱与面所成角． 【详解】
?S?ACDsinS?3??5?，故?BCD?sinsinS?ACDsin5?31212S?BCD【点睛】
332?62?，
26?24本题考查类比推理．类比正弦定理可得，类比时有结构类比，方法类比等．
15．已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和球半径均为2，则该圆柱的底面半径为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】
由圆柱外接球的性质，即可求得结果. 【详解】
解：由于圆柱的高和球半径均为2，,则球心到圆柱底面的距离为1， 设圆柱底面半径为r，由已知有r2?12?22， ∴r?3，
即圆柱的底面半径为3. 故答案为：3. 【点睛】
本题考查由圆柱的外接球的性质求圆柱底面半径，属于基础题.
x2y2x2y216．已知a?b?0，椭圆C1的方程为2?2?1，双曲线C2方程为2?2?1，C1与C2的离心率之
abab积为3，则C2的渐近线方程为________. 2【答案】x?2y?0 【解析】 【分析】
求出椭圆与双曲线的离心率，根据离心率之积的关系，然后推出a,b关系，即可求解双曲线的渐近线方程. 【详解】
x2y2a?b?0，椭圆C1的方程为2?2?1，
ab22a?bC1的离心率为：， ax2y2双曲线C2方程为2?2?1，
ab22C2的离心率：a?b，
aQC1与C2的离心率之积为3，
2a2?b2a2?b23， ???aa22?b?1b， ????,?2a2?a?2 C2的渐近线方程为：y??故答案为：x?2y?0 【点睛】
2x，即x?2y?0. 2本题考查了椭圆、双曲线的几何性质，掌握椭圆、双曲线的离心率公式，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．如图，在?ABC中，AC?2，?A??3，点D在线段AB上.
（1）若cos?CDB??，求CD的长； （2）若AD?2DB，sin?ACD?137sin?BCD，求?ABC的面积.
【答案】（1）CD?【解析】 【分析】
3633 （2）24（1）先根据平方关系求出sin?CDA,再根据正弦定理即可求出CD；
（2）分别在?ADC和?BDC中，根据正弦定理列出两个等式，两式相除，利用题目条件即可求出CB，再根据余弦定理求出AB，即可根据S?【详解】
（1）由cos?CDB??，得cos?CDA?1AC?AB?sinA求出?ABC的面积． 213122. ，所以sin?CDA?33CD2?CDAC36?. 由正弦定理得，，即322，得CD?sinAsin?CDA423ADAC?，①
sin?ACDsin?ADCDBCB?在?BDC中，，②
sin?BCDsin?BDC（2）由正弦定理，在?ADC中，
又sin?ADC?sin?BDC，AD?2DB，sin?ACD?7sin?BCD，
由
①得CB?7， ②由余弦定理得CB2?AC2?AB2?2AC?ABcosA，
即7?4?AB2?2AB，解得AB?3， 所以?ABC的面积S?【点睛】
本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
133. AC?AB?sinA?22an?12an??1． 18．已知数列{an}的各项都为正数，a1?2，且anan?1（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
[lg99]?1，（Ⅱ）设bn??其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]?0，求数列{bn} 的?lg?log2an???，
前2020项和．
n【答案】（Ⅰ）an?2；（Ⅱ）4953
【解析】 【分析】
（Ⅰ）递推公式变形为?an?1?an??an?1?2an??0，由数列是正项数列，得到an?1?2an，根据数列是等比数列求通项公式；
（Ⅱ）bn???lg?log2an????[lgn]，根据新定义和对数的运算分类讨论数列?bn?的通项公式，并求前2020项和． 【详解】
an?12an22??1，∴an?aa?2a（Ⅰ）∵?1n?1nn?0，∴?an?1?an??an?1?2an??0 anan?1又∵数列{an}的各项都为正数，∴an?1?2an?0，即an?1?2an．
n∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an?2．
?0,1?n?10?1,10?n?100?b?lgloga?[lgn]?（Ⅱ）∵bn??，∴，n?N?． ???n2n???2,100?n?1000??3,1000?n?2020∴数列{bn}的前2020项的和为1?90?2?900?3?1021?4953． 【点睛】
本题考查根据数列的递推公式求通项公式和数列的前n项和，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.
19．已知函数f(x)?|x?2|?|x?3|. （1）解不等式f(x)?3x?2；
（2）若函数f(x)最小值为M，且2a?3b?M(a?0,b?0)，求【答案】（1）?,???（2）【解析】 【分析】
（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.
（2）先求得f?x??5，即2a?3b?5(a?0,b?0)，再根据“1的代换”的方法，结合基本不等式，求得
13?的最小值. 2a?1b?1?7?3??16 913?的最小值. 2a?1b?1【详解】
3，无解； 577当?2?x?3时，x?2?x?3?3x?2，即?x，得?x?3；
33（1）当x??2时，?x?2?x?3?3x?2，即x?当x?3时，x?2?x?3?3x?2，即x?1，得x?3.
?7?故所求不等式的解集为?,???.
?3?（2）因为f(x)?|x?2|?|x?3|?|(x?2)?(x?3)|?5， 所以2a?3b?5(a?0,b?0)，则2a?1?3(b?1)?9，
131?13?1?3(b?1)3(2a?1)?16????[2a?1?3(b?1)]?10???. ???2a?1b?19?2a?1b?1?9?2a?1b?1?9?2a?1?b?1,?a?5,???8当且仅当?2a?3b?5,即?时取等号.
5?b??a?0,b?0,??4?故
1316?的最小值为.
92a?1b?1【点睛】
本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
20．?ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知?a?b??c2?ab. （1）求角C；
2（2）若4ccos?A?【答案】（1）（2）3 【解析】 【分析】
??????bsinC?0，a?1，求?ABC的面积. 2?? 3（1）利用余弦定理可求cosC，从而得到C的值.
（2）利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得b?4a，得到b值后利用面积公式可求S?ABC. 【详解】
（1）由?a?b??c2?ab，得a2?b2?c2?ab.
2a2?b2?c21所以由余弦定理，得cosC??.
2ab2又因为C??0,??，所以C?（2）由4ccos?A??3.
??????bsinC?0，得?4csinA?bsinC?0. 2?由正弦定理，得4ca?bc，因为c?0，所以b?4a. 又因a?1，所以b?4. 所以?ABC的面积S?【点睛】
在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式. 21．已知抛物线C:y2?4x的焦点为F，点A?a,3?，点P为抛物线C上的动点． （1）若PA?PF的最小值为5，求实数a的值；
（2）设线段OP的中点为M，其中O为坐标原点，若?MOA??MAO??AOF，求?OPA的面积． 【答案】（1）a的值为?3或4.（2）【解析】 【分析】
113absinC??1?4??3. 222913 2（1）分类讨论，当a?9时，线段AF与抛物线C没有公共点，设点P在抛物线准线x??1上的射影为49D，当D,P,A三点共线时，能取得最小值，利用抛物线的焦半径公式即可求解；当a?时，线段AF与
4抛物线C有公共点，利用两点间的距离公式即可求解.
（2）由题意可得MA//x轴且MO? MA? MP，设M?t,3?，则P?2t,6?，代入抛物线方程求出M,P，再利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】
?1?由题，F?1,0?，若线段AF与抛物线C没有公共点，即a?9时，
4设点P在抛物线准线x??1上的射影为D， 则D,P,A三点共线时，
PA? PF的最小值为AD?a???1??5，此时a?4;
若线段AF与抛物线C有公共点，即a?9时， 4则A,P,F三点共线时，PA?PF 的最小值为：
PF??a?1?2?32?5，此时a??3
综上，实数a的值为?3或4.
?2?因为?MOA??MAO??AOF，
所以MA//x轴且MO? MA? MP，设M?t,3?，则P?2t,6?，代入抛物线C的方程解得2t?9,
于是MO? MA?MP?313， 2所以S?OPA?【点睛】
1913 MAgyp?22本题考查了抛物线的焦半径公式、直线与抛物线的位置关系中的面积问题，属于中档题.
x2y222．已知椭圆C:??1的右顶点为D，E为上顶点，点A为椭圆C上一动点．
43（1）若DE?AE，求直线AD与y轴的交点坐标；
（2）设F为椭圆C的右焦点，过点M?4,0?与x轴垂直的直线为l0，FM的中点为N，过点A作直线l0的垂线，垂足为B，求证：直线AF与直线BN的交点在椭圆C上．
?3?【答案】（1）??0,?7??（2）见解析
??【解析】 【分析】
（1）直接求出直线AE方程，与椭圆方程联立求出A点坐标，从而可得直线AD方程，得其与y轴交点坐标；
（2）设A(x0,y0)，则B(4,y0)，求出直线BN和AF的方程，从而求得两直线的交点坐标，证明此交点在椭圆上，即此点坐标适合椭圆方程．代入验证即可．注意分x0?1和x0?1说明． 【详解】
解：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合， （1）由题知D?2,0?，E0,3，则kDE????233．因为DE?AE，所以kAE?，
3248??23x??y?x?3??25??233 则直线AE的方程为y?，可得x?3，联立?2?2733?x?y?1?y????253??4?4873?故A???25,?25??．则kDA??7333，直线AD的方程为y??25?(x?2)．令x?0，
4814142?25得y???3?30,?，故直线AD与y轴的交点坐标为?． ???7?7??5?,0?．设点A?x0,y0?，则B?4,y0?． 2??（2）证明：因为F(1,0)，M(4,0)，所以N?设
当x0?1时，设A?1,?3??3?B，则??4,?，此时直线AF与x轴垂直，
2???2?其直线方程为x?1，
3?05?5?2y?0?x?y?x?直线BN的方程为，即． ?5?22??4?2在方程y?x?3?53?中，令x?1，得y??，得交点为?1,??，显然在椭圆C上．
2?22?3??A1,?同理当??时，交点也在椭圆C上．
2??当x0?1时，可设直线BN的方程为
y?y0?5?x??，即y?2y0?x?5?． 5???2?4??3?2?22y0?5?x???3?2?，
y0(x?1)x0?1??y?y0(x?1)，联立方程?直线AF的方程为y??x0?1?y???消去y得
5x0?82y0?y05?x?x??(x?1)，化简并解得． ??2x0?53?2?x0?1将x?y05x0?83y0y?y?(x?1)代入中，化简得．
2x0?52x0?5x0?1所以两直线的交点为?2?5x0?83y0?,?．
2x?52x?50?0?2因为
1?5x0?8?1?3y0?????? 4?2x0?5?3?2x0?5?4?2x0?5?2?225x0?80x0?64?23y0?2x0?5?2?2225x0?80x0?64?12y04?2x0?5?2，
22x0y022又因为??1，所以4y0?12?3x0，
43则
2225x0?80x0?64?12y04?2x0?5?2?24x0?20x0?25?2x0?5?2?2x0?5??2?2x0?5?2?1，
?5x0?83y0?,所以点??在椭圆C上．
2x?52x?50?0?综上所述，直线AF与直线BN的交点在椭圆C上． 【点睛】
本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方程，求出直线方程，解方程组求出交点坐标，代入曲线方程验证点在曲线．本题考查了学生的运算求解能力．
23．设函数f(x)?|x?a|?|x?a2?a|(a?R)． （1）当a?1时，求不等式f(x)?5的解集；
（2）若存在a?[?1,0]，使得不等式f(x)?b对一切x?R恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】 (Ⅰ) {x|?2?x?3}.(Ⅱ) ???,0. 【解析】 【分析】
?(Ⅰ)a?1时，(Ⅱ)不等式f?x??b根据绝对值不等式的定义去掉绝对值，求不等式f?x??5的解集即可；的解集为R，等价于f?x?min?b，求出f?x?在a??1,0的最小值即可． 【详解】
????2x?1,x??1?(Ⅰ)当a?1时，f?x??x?1?x?2??3,?1?x?2
?2x?1,x?2?x??1时，不等式f?x??5化为?2x?1?5，解得x??2，即?2?x?1 ?1?x?2时,不等式f?x??5化为3?5，不等式恒成立，即?1?x?2 x?2时,不等式f?x??5化为2x?1?5，解得x?3，即2?x?3
综上所述，不等式f?x??5的解集为?x|?2?x?3? (Ⅱ)不等式f?x??b的解集为R ?f?x?min?b
Qf?x??x?a?x?a2?a??x?a??x?a2?a?a2?2a ?f?x?min?a2?2a?b对任意a???1,0?恒成立
??Qa2?2a??a?1??1
?当a?0时，a2?2a取得最小值为0 ?实数b的取值范围是???,0?
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型．
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江苏省南京市2019-2020学年高考数学教学质量调研试卷含解析
