2019-2020年高考数学第一轮复习教案人教版
【教学目标】
正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理，并能运用它解决有关垂直问题。 【知识梳理】
O
1．斜线长定理
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，
①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； ②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； ③垂线段比任何一条斜线段都短． B A 2．重要公式
? C D 如图，已知OB?平面?于B，OA是平面?的斜线，A为斜足，
直线AC?平面?，设?OAB=?1，又?CAB=?2，?OAC=?．那么
cos?=cos?1cos?2． 3．直线和平面所成的角
①平面斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角．
②一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0的角．
4．三垂线定理和三垂线定理的逆定理 名称 语言表述 图 示 字母表示 应 用 ①证两直线垂直 ②作点线距 ③作二面角 的平面角 同 上 在平面内的一条直线,三垂线如果和这个平面的一条定 理 斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 三垂线在平面内的一条直线,定理的如果和这个平面的一条逆定理 斜线垂直,那么它也和 P ? A P O a O a ? A 这条斜线的射影垂直. 重要提示 三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直，此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”． 【点击双基】
1．下列命题中，正确的是 ( ) (A)垂直于同一条直线的两条直线平行 (B)平行于同一平面的两条直线平行
(C)平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线
(D)a、b在平面外，若a、b在平面内的射影是两条相交直线，则a、b也是相交直线 2．直线a、b在平面?内的射影分别为直线a1、b1，下列命题正确的是 ( ) (A)若a1?b1，则a?b (B)若a?b，则a1?b1 (C)若a1??b1，则a与b不垂直 (D)若a??b，则a1与b1不垂直 3．直线a、b在平面外，若a、b在平面内的射影是一个点和不过此点的一条直线，则a与b是 ( )
(A)异面直线 (B)相交直线
(C)异面直线或相交直线 (D)异面直线或平行直线
4．P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各顶点的距离都相等，则P点在平面ABC内的射影是△ABC的 ( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
5．P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各边的距离都相等，且P点在平面ABC内的射影在△ABC的内部，则射影是△ABC的 ( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 6．P是△ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC，若PA?BC，PB?AC，则P点在平面ABC内的射影是△ABC的 ( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
7．从平面外一点向这个平面引两条斜线段，它们所成的角为?．这两条斜线段在平面内的射影成的角为?(90???<180?)，那么?与?的关系是 ( )
(A)?? (C)??? (D)???
8．已知直线l1与平面成30角，直线l2与l1成60角，则l2与平面所成角的取值范围是 ( )
(A)[0,60] (B)[60,90] (C)[30,90] (D)[0,90] 【典例剖析】
例1．如果四面体的两组对棱互相垂直，求证第三组对棱也互相垂直．
已知：四面体ABCD中，AB?CD，AD?BC；
A 求证：AC?BD；
c 证法一：作AO?平面BCD于O， a 连OB、OC、OD，∵AB?CD，∴OB?CD，同理，由AD?BC得OD?BC， b D B ∴O是△BCD的垂心，∴OC?BD，从而AC?BD．
O 证法二：设=a，=b，=c，则=ba，=ca，=cb， C ∵AB?CD，AD?BC，∴a(cb)=0，c(ba)=0，则ac=ab，ac=cb． ∴ab=cb，即abcb=0，从而有b(ca)=0，故?．
例2．如图，在三棱锥PABC中，ACB=90，ABC=60，PC平面ABC，AB=8，PC=6，M、N分别是PA、PB的中点，设△MNC所在平面与△ABC所在平面交于直线l．
(1)判断l与MN的位置关系，并进行证明；
P
(2)求点M到直线l的距离． 解：(1)l??MN，证明如下： M N ∵M、N分别是PA、PB的中点， ∴MNAB，MN平面ABC，AB平面ABC， A
B
∴MN平面ABC．又∵MN平面MNC，
Q l 平面MNC平面ABC=l，∴MNl．
(2)取AC的中点Q，连MQ，则MQPC， D C 而PC平面ABC，∴MQ平面ABC．
作QD直线l于D，连MD，则MD直线l． 线段MD的长即为M到直线l的距离． 在Rt△ABC中，可求得AC=4，∴QC=2． 又MQ=PC=3，?QCD=30?，∴QD=QC=． 于是 MD==2．
例3.如图，P 是ΔABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC。若O和Q分别是ΔABC和 ΔPBC的垂心，试证：OQ⊥平面PBC。
证明： ∵O是ΔABC的垂心，∴BC⊥AE。 ∵PA⊥平面ABC， 根据三垂线定理得BC⊥PE。∴BC⊥平面PAE。∵Q是ΔPBC 的垂心，故Q在PE上，则OQ平面PAE，∴OQ⊥BC。 ∵PA⊥平面ABC，BF平面ABC，∴BF⊥PA，又∵O是ΔABC的垂心，∴BF⊥AC，故BF⊥平面PAC。因而FM是BM在平
面PAC内的射影。因为BM⊥PC，据三垂线定理的逆定理，
FM⊥PC，从而PC⊥平面BFM。又OQ平面BFM，所以OQ⊥PC。 综上知 OQ⊥BC，OQ⊥PC，所以OQ⊥平面PBC。
说明：此题涉及直线与平面垂直，需用三垂线定理及逆定理。
例4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直角三角形，∠ABC=，2AB=BC=BB1=a，且
A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交于DE。
（1）A1B1⊥平面BB1C1C；（2）求证：A1C⊥BC1；（3）求证：DE⊥平面BB1C1C。
证明：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
∴侧面与底面垂直，即平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，又∵AB⊥BC，∴A1B1⊥B1C1 从而A1B1⊥平面BB1C1C。
（2）由题设可知四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C，而A1B1⊥平面BB1C1C， ∴ A1C在平面BB1C1C上的射影是B1C，由三垂线定理得A1C⊥BC1
（3）∵直三棱柱的侧面均为矩形，而D、E分别为所在侧面对角线的交点，∴D为A1C的中点，E为B1C的中点，∴DE∥A1B1，而由（1）知A1B1⊥平面BB1C1C，∴DE⊥平面BB1C1C。
例5．如图P是ABC所在平面外一点，PA＝PB，CB平面PAB，M是PC的中点， N是AB上的点，AN＝3NB （1）求证：MNAB；（2）当APB＝90，AB＝2BC＝4时，求MN的长。
P（1）证明：取的中点，连结，∵是的中点，
M ∴，∵ 平面 ，∴ 平面
∴是在平面内的射影 ，取 的中点，连结 CA
，∵∴，又，∴ NB
∴，∴，由三垂线定理得 （2）∵，∴，∴，∵平面 ∴，且，∴
【知识方法总结】
运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足”，如果“垂足”，定了，那么“垂足”和“斜足”的连线就是斜线在平面上的射影。
【作业】
1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E在上底面A1B1C1D1内，A1B1E=60，A1B1=2B1E，求证：AEB1E
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O为是底面AC的中心，P为棱A1B1上任意的一点，则直线OP与AM所在的角等于。
A 90度 B 60度 C 45 度 D 30度
3. 如图：在平面β内有△ABC，在平面β外有点S，斜线SA⊥AC，SB⊥BC，且斜线SA、SB分别与平面β所成的角相等，(1) 求证：AC＝BC；(2) 又设点S与平面β的距离是4cm，AC⊥BC，且AB=6cm，求点S与直线AB的距离。
4.如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=3，沿对角线BD将BCD折起，使点C在平面ABD上的射影O恰在AB上。（1）求证：BC平面ACD；（2）求点A到平面BCD的距离；（3）求直线AB与平面BCD所成的角的大小。
CBABODACD
5.直线a平行于平面，l为平面的斜线，a直线l在内的射影，求证：l a。
6.G为ABC的垂心，GP平面ABC，且APBP，求证：APCP
2019-2020年高考数学第一轮复习第三章数列第一课时数列的概念教案人
教版
一、知识图谱：
二、高考考纲要求：
(1)理解函数的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
(2)掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题．
(3)有些应用问题可以转化为数列问题来解决，应掌握解决数列应用问题的方法．数列与函数、数列与不等式在应用题和综合题中常常出现，通过综合题的训练，提高等价转化能力及思维的灵活性，深刻领会化归及函数和方程的思想． 三、xx年高考命题展望：
在试验教材中，近10年高考试题内容，数列部分约占8％．命题总的趋势是“稳中有变”．等差、等比数列的定义、通项公式以及等差、等比数列的性质一直是考查的重点．这方面的考题多以选择题、填空题出现，突出“小、巧、活”的特点．
解答题中以中等难度的综合题为主，涉及函数、方程、不等式等重要内容．试题体现了函数与方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想及待定系数法、配方法、换元法、消元法等基本的数学方法．
可以预测在今后的高考中，仍将以等差数列、等比数列的基本问题为主，突出重要思想方法的考查．为了考查学生的创新能力，主观题应是以考查数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列(点列)与解析几何等知识的综合，通过类似题目，更有效地测试考生对数学思想方法和理解深度，尤其是通过探索性的问题，测试考生的潜能和创新意识．测试考生应用数学知识和方法去解决实际问题的能力．
第三章：数列 第一课时：数列的概念
教学目的：理解数列的概念，能用函数的观点认识数列；了解数列的通项公式和递推公式的意义，会根据数列的通项公式写出数列的任意一项；知道递推公式是给出数列的一种重要方法，会根据数列的递推公式写出数列的前几项．
教学重点：数列的概念及数列的通项公式。
教学难点：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式和根据递推关系求通项公式。 考点分析及学法指导：
数列是初等数学和高等数学的一个衔接点历来是高考考察的重点，突出考察考生的思维能力、逻辑推理能力及解决问题的能力。有关数列的试题经常在数列知识、函数知识和不等式等知识网络的交汇点命题。学习中应注意应用“联系”的思想、从特殊到一般的思想方法，也要掌握常用方法．
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