第1讲 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式
[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据,掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法:作差法与作商法.(重点) 2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型,通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数,一元二次方程之间的联系,能解一元二次不等式.(重点、难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是高考中的一个热点内容,但一般不会单独命题.预测2021年将会考查:利用不等式的性质判断结论的成立性,求参数的取值范围;一元二次不等式的解法,对含参数的二次不等式的分类讨论等.命题时常将不等式与函数的单调性相结合.试题一般以客观题的形式呈现,属中、低档题型.
1.两个实数比较大小的依据 01>b. (1)a-b>0?a□02=b. (2)a-b=0?a□03<b. (3)a-b<0?a□2.不等式的基本性质 01b<a. (1)对称性:a>b?□
2a>c. (2)传递性:a>b,b>c?0□(3)可加性:a>b?a+c>b+c.
3ac>bc;a>b,c<0?□04ac<bc. (4)可乘性:a>b,c>0?0□05a+c>b+d. (5)加法法则:a>b,c>d?□
6ac>bd. (6)乘法法则:a>b>0,c>d>0?0□07a>b(n∈N,n≥1). (7)乘方法则:a>b>0?□(8)开方法则:a>b>0?3.必记结论 11
(1)a>b,ab>0?<.
nnnna>b(n∈N,n≥2).
ab11
(2)a<0
ab(3)a>b>0,0
(4)0b>0,m>0,则<
bb+m; aa+mbb-maa+m>(b-m>0);>; aa-mbb+maa-m<(b-m>0). bb-m4.一元二次函数的三种形式
01y=ax+bx+c(a≠0). (1)一般式:□
2
b?4ac-b02y=a?(2)顶点式:□?x+2a?2+4a(a≠0).
??
03y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (3)两根式:□
5.三个二次之间的关系 判别式 2
Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 x1,x2 (x1 bx1=x2=- 2ab?没有实数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 02 x?□?x≠-2a? ??05? □03R □ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 06? □1.概念辨析 (1)a>b?ac>bc.( ) (2)若不等式ax+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax+bx+c=0的两个根是x1和x2.( ) (3)若方程ax+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax+bx+c>0的解集为R.( ) (4)不等式ax+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b-4ac≤0.( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.小题热身 (1)设集合M={x|x-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩N等于( ) A.(0,4] C.[-1,0) 答案 B 解析 因为M={x|-1 解析 因为c0,c<0,b的符号不确定,b-a<0,a-c>0,据此判断A成立,B,D不成立,C不一定成立. (3)设M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则有( ) A.M >N C.M 解析 M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=a-2a+3=(a-1)+2>0,故M >N. (4)已知函数f(x)=ax+ax-1,若对任意实数x,恒有f(x)≤0,则实数a的取值范围是________. 答案 [-4,0] 解析 当a=0时,f(x)=-1≤0成立, 当a≠0时,若对?x∈R,f(x)≤0, ??a-4×a×须有? ?a<0,? 2 2 2 2 2 2 2 B.[0,4) D.(-1,0] B.c(b-a)<0 D.ac(a-c)>0 B.M ≥N D.M≤N -1≤0, 解得-4≤a<0. 综上知,实数a的取值范围是[-4,0]. 题型 一 不等式性质的应用 111.(2020·辽宁省鞍山一中高三上学期期末)已知条件甲:a>0,条件乙:a>b且>,则 ab甲是乙的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 B B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 1111b-a解析 由a>0不能推出a>b且>,故甲不是乙的充分条件.若a>b且>,即a>b且>0, ababab11 则ab<0,所以a>0,b<0.所以由a>b且>能推出a>0.故甲是乙的必要条件.所以甲是乙的必 ab要不充分条件. 2.已知等比数列{an}中,a1>0,q>0,前n项和为Sn,则与的大小关系为________. 答案 S3S5a3a5 S3S5< a3a5 S3a3 S5a5 S3S5a3a5 解析 当q=1时,=3,=5,所以<. 当q>0且q≠1时, S3S5a11-q3a11-q5-=-4 a3a5a1q21-qa1q1-qq21-q3-1-q5-q-1==<0, 4 q1-qq4 所以<. 综上可知<. 3.已知二次函数y=f(x)的图象过原点,且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围. 解 由题意知f(x)=ax+bx,则f(-2)=4a-2b, 由f(-1)=a-b,f(1)=a+b, 设存在实数m,n,使得4a-2b=m(a+b)+n(a-b), 即4a-2b=(m+n)a+(m-n)b, 所以? ?m+n=4,? 2 S3S5 a3a5 S3S5a3a5 ??m-n=-2, 解得? ?m=1,???n=3, 所以f(-2)=4a-2b=(a+b)+3(a-b). 又3≤a+b≤4,3≤3(a-b)≤6, 所以6≤(a+b)+3(a-b)≤10, 即f(-2)的取值范围是[6,10]. 1.判断不等式是否成立的方法 (1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明. (2)在判断一个关于不等式的命题的真假时,可结合不等式的性质,对数函数、指数函数的性质进行判断. 2.比较两个数(式)大小的两种方法 3.求代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,一般是利用整体思想,通过“一次性”不 等关系的运算求得整体范围,是避免错误的有效途径.如举例说明3. 11111122 1.若<<0,给出下列不等式:①<;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a>ln b. aba+babab其中正确的不等式是( ) A.①④ C.①③ 答案 C 11122 解析 因为<<0,所以b|a|,所以|a|+b<0,ln a B.②③ D.②④ aba11111-可推出a->b-,显然有<0<,综上知,①③正确,②④错误. baba+bab2.若a>0,且a≠7,则( ) A.7a<7aC.7a>7a答案 C 解析 显然7a>0,7a>0, 7a7a?7?7?a?a?7?7?7?-a?7?7-a因为a7=??·??=??·??=??. 7a?a??7??a??a??a? 7a7a7aa7 B.7a=7a D.7a与7a的大小不确定 7a7aa7 a7 a7 a7 7?7?7-a当a>7时,0<<1,7-a<0,??>1, aa?a??a? 7?7?7-a当01,7-a>0,??>1. 综上知7a>7a. 7aa7
2021届高考数学一轮复习第6章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式创新教学案(含解析)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)