2021届高考数学一轮复习第6章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式创新教学案(含解析)

第1讲 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式

[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点) 2．能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2021年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值范围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.

1.两个实数比较大小的依据 01＞b. (1)a－b＞0?a□02＝b. (2)a－b＝0?a□03＜b. (3)a－b＜0?a□2．不等式的基本性质 01b＜a. (1)对称性：a＞b?□

2a＞c. (2)传递性：a＞b，b＞c?0□(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.

3ac＞bc；a＞b，c＜0?□04ac＜bc. (4)可乘性：a＞b，c＞0?0□05a＋c＞b＋d. (5)加法法则：a＞b，c＞d?□

6ac＞bd. (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0?0□07a＞b(n∈N，n≥1)． (7)乘方法则：a＞b＞0?□(8)开方法则：a＞b＞0?3．必记结论 11

(1)a>b，ab>0?<.

nnnna＞b(n∈N，n≥2)．

ab11

(2)a<0

ab(3)a>b>0,0. 111

(4)0b>0，m>0，则<

bb＋m； aa＋mbb－maa＋m>(b－m>0)；>； aa－mbb＋maa－m<(b－m>0)． bb－m4．一元二次函数的三种形式

01y＝ax＋bx＋c(a≠0)． (1)一般式：□

2

b?4ac－b02y＝a?(2)顶点式：□?x＋2a?2＋4a(a≠0)．

??

03y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (3)两根式：□

5．三个二次之间的关系 判别式 2

Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 x1，x2 (x1

bx1＝x2＝－ 2ab?没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 02 x?□?x≠－2a? ??05? □03R □ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 06? □1．概念辨析

(1)a＞b?ac＞bc.( )

(2)若不等式ax＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )

(3)若方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax＋bx＋c>0的解集为R.( ) (4)不等式ax＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b－4ac≤0.( )

2

2

2

2

2

2

2

2

答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．小题热身

(1)设集合M＝{x|x－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( ) A．(0,4] C．[－1,0) 答案 B

解析 因为M＝{x|－1ac C．cb

解析 因为c0，c<0，b的符号不确定，b－a<0，a－c>0，据此判断A成立，B，D不成立，C不一定成立．

(3)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有( ) A．M >N C．M

解析 M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a－2a＋3＝(a－1)＋2>0，故M >N. (4)已知函数f(x)＝ax＋ax－1，若对任意实数x，恒有f(x)≤0，则实数a的取值范围是________．

答案 [－4,0]

解析 当a＝0时，f(x)＝－1≤0成立， 当a≠0时，若对?x∈R，f(x)≤0，

??a－4×a×须有?

?a<0，?

2

2

2

2

2

2

2

B．[0,4) D．(－1,0]

B．c(b－a)<0 D．ac(a－c)>0

B．M ≥N D．M≤N

－1≤0，

解得－4≤a＜0.

综上知，实数a的取值范围是[－4,0]．

题型 一 不等式性质的应用

111．(2020·辽宁省鞍山一中高三上学期期末)已知条件甲：a>0，条件乙：a>b且>，则

ab甲是乙的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 B

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

1111b－a解析 由a>0不能推出a>b且>，故甲不是乙的充分条件．若a>b且>，即a>b且>0，

ababab11

则ab<0，所以a>0，b<0.所以由a>b且>能推出a>0.故甲是乙的必要条件．所以甲是乙的必

ab要不充分条件．

2．已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，则与的大小关系为________． 答案

S3S5a3a5

S3S5< a3a5

S3a3

S5a5

S3S5a3a5

解析 当q＝1时，＝3，＝5，所以<. 当q>0且q≠1时，

S3S5a11－q3a11－q5－＝－4 a3a5a1q21－qa1q1－qq21－q3－1－q5－q－1＝＝<0， 4

q1－qq4

所以<. 综上可知<.

3．已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．

解 由题意知f(x)＝ax＋bx，则f(－2)＝4a－2b， 由f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，

设存在实数m，n，使得4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)， 即4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b， 所以?

?m＋n＝4，?

2

S3S5

a3a5

S3S5a3a5

??m－n＝－2，

解得?

?m＝1，???n＝3，

所以f(－2)＝4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)． 又3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6， 所以6≤(a＋b)＋3(a－b)≤10， 即f(－2)的取值范围是[6,10]．

1．判断不等式是否成立的方法

(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．

(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．

2．比较两个数(式)大小的两种方法

3．求代数式的取值范围

利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不

等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.

11111122

1．若<<0，给出下列不等式：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a>ln b.

aba＋babab其中正确的不等式是( )

A．①④ C．①③ 答案 C

11122

解析 因为<<0，所以b|a|，所以|a|＋b<0，ln ab，－>

B．②③ D．②④

aba11111－可推出a－>b－，显然有<0<，综上知，①③正确，②④错误． baba＋bab2．若a>0，且a≠7，则( ) A．7a<7aC．7a>7a答案 C

解析 显然7a>0,7a>0，

7a7a?7?7?a?a?7?7?7?－a?7?7－a因为a7＝??·??＝??·??＝??.

7a?a??7??a??a??a?

7a7a7aa7

B．7a＝7a

D．7a与7a的大小不确定

7a7aa7

a7 a7

a7

7?7?7－a当a>7时，0<<1,7－a<0，??>1，

aa?a??a?

7?7?7－a当01,7－a>0，??>1. 综上知7a>7a.

7aa7