最新微分方程特征值与线性代数特征值的联系

微分方程特征值与线性代数特征值的联系

殷 德 京

1.化任一高阶显式微分方程为一阶显式微分方程组

①

对于任一高阶显式微分方程都可以化成一个与之等价的一阶显式微分方程组.即

dzidnydydn?1y?fi(x,z1,?,zn) (i?1,?,n) ?f(x,y,,?,) nn?1dxdxdxdx化法:

对任一高阶显式微分方程

dnydydn?1dxn?f(x,y,ydx,?,dxn?1), (1) 引进新的未知函数,即令

?dyd2ydn?1z?y,zy12dx,z3?dx2,?,zn?dxn?1,

就可化为如下的一阶显式微分方程组

??dz1dx?z2,??dz2 ??z3,?dx??dz??? (2)

n?1dx?zn,??dz? ndx?f(x,z1,z2,?,zn).

2.化任一高阶显式线性微分方程为一阶显式线性微分方程组

特别地，如果所讨论的方程为高阶线性微分方程

y(n)?a1(x)y(n?1)?a2(x)y(n?2)???an?1(x)y(1)?an(x)y?f(x), (3) 解出最高阶导数,则得高阶显式线性微分方程

y(n)??a(n?1)2)1(x)y?a2(x)y(n????an?1(x)y(1)?an(x)y?f(x). (4) 那么由上述同样的化法,即令

dyd2ydn?1zy1?y,z2?dx,z3?dx2,?,zn?dxn?1,

就可得一阶显式线性微分方程组如下

①

显式微分方程又称正规形微分方程,即解出了最高阶导数的微分方程.

?dz1?dx?z2,?dz2??z3,?dx ? (5) ????dzn?1?dx?zn,?dz? n??a1(x)zn?a2(x)zn?1???an?1(x)z2?an(x)z1?f(x).?dx(5)式用矢量记法，则为

其中

dz?A(x)z?f(x)， (6) dx10?0?01?0??? A(x)???00?0??a(x)?a(x)?a(x)n?1n?2?n

???????z1??????0?z?2????,z????,f(x)??????1???zn?1???z??a1(x)????n?00??0???. (7) ?0?f(x)??3.线性微分方程特征值与线性代数特征值的联系

考虑常系数齐次高阶线性微分方程

y(n)?a1y(n?1)?a2y(n?2)???an?1y(1)?any?0, (8) 根据(6)式,它化为常系数齐次一阶显式线性微分方程组 其中

dz?A(x)z, (9) dx?0??0 A(x)?????0??a?n

假设方程(9)解的形式是

10?0?an?101?0?????an?2?0??z1????0??z2???,z????. (10) ???1??zn?1??z??a1???n?z?ce?x

代入(9)式,得

c?e?x?A(x)ce?x

因e?x?0,故可两边消去e?x,得

c??A(x)c

继而有

A(x)c??c (11) 或

(A(x)??E)c?0 (12) (11)正是线性代数中矩阵A(x)的特征值和特征矢量的定义式,(12)式就是一个齐次线性代数方程组.它有非零解的充要条件是系数行列式为零,即有特征方程

|(A(x)??E)|?0,

也即

??0?0?an即

1???0?an?101?0????00?1?0

?an?2??a1???n?a1?n?1???an?1??an?0

k这恰是把常系数齐次高阶线性微分方程(8)中的y(k)都换成?(k?0,1,?,n)所得出的代数方程——即通

常所说的微分方程(8)的特征方程.