高 二 上 学 期 数 学 期 末 测 试 题 一、选择题：1．不等式x?2?2的解集为（ ） x?1A.??1,0???1,??? B.???,?1???0,1? C.??1,0???0,1? D.???,?1???1,??? 2．c?0是方程 ax2?y2?c 表示椭圆或双曲线的（ ）条件 A．充分不必要
2B．必要不充分 C．充要 D．不充分不必要
43.若0????,当点?1,cos??到直线xsin??ycos??1?0的距离为1,则这条直线的斜率为（ ） A.1 B.－1 C.4.已知关于x的不等式ax2?A.[0，16] B.[0,
932 D.－
33
3ax?1?0的解集是实数集 R，那么实数a的取值范围是（ ） 2） C.（0,16） D.?98?0,??3??169
5.过点（2，1）的直线l被x2?y2?2x?4y?0截得的最长弦所在直线方程为：( ) A. 3x?y?5?0 B. 3x?y?7?0 C. x?3y?5?0 D. x?3y?1?0 6.下列三个不等式：①x2?3?2x;②a、b?R,ab?0时,b?a?2；③当ab?0时，aab?b?a?b.其中恒
成立的不等式的序号是（ ）A.①② B.①②③ C.① D.②③
7.圆心在抛物线y2?2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）
A．x2?y2?x?2y??0 B．x2?y2?x?2y?1?0 C．x?y?x?2y?1?0 D．x2?y2?x?2y?1?0
442218.圆C切y轴于点M且过抛物线y?x2?5x?4与x轴的两个交点，O为原点，则OM的长是（ ） A．4
B．2.5 C．22 D．2
2449922229.与曲线x?y?1共焦点，而与曲线x?y?1共渐近线的双曲线方程为（ ）
3664
22222222A．y?x?1 B．x?y?1 C．y?x?1 D．x?y?1
161699169162210.抛物线y2??4x上有一点P，P到椭圆x?y?1的左顶点的距离的最小值为（ ）
1615 A．23 B．2+
3 C．
n3 D．2?3
2211.若椭圆x?y2?1(m?1)与双曲线x?y2?1(n?0)有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交
m点，则?F1PF2的面积是（ ）A．4
B．2 C．1 D．0.5
12.抛物线y2?2px与直线ax?y?4?0交于两点Ａ?Ｂ，其中点Ａ坐标为（1，2），设抛物线焦点为Ｆ，则|FA|+|FB|=（ ）Ａ.7 Ｂ.6 Ｃ.5 Ｄ.4
二、填空题13. 设函数f(x)?ax?2,不等式|f(x)|?6的解集为(-1,2)，则不等式xf?x??1的解集为
2214.若直线2ax?by?2?0(a?0,b?0)始终平分圆x?y?2x?4y?1?0的圆周，则1?1的最小值为______
ab215．若曲线xa?4?y2?1的焦点为定点，则焦点坐标是 a?5 .
16.抛物线y2??2x上的点M到焦点F的距离为3，则点M的坐标为____________.
22三、解答题： 18．已知椭圆C:x?y?1(a?b?0)经过点M(1，2)，其离心率为
22ab222，设直线
2相3（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线l与圆x2l：y?kx?m与椭圆C相交于A、B两点．
?y2?切，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）；（Ⅲ）以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB，若点Q在椭圆uuuruuurC上，且满足OP??OQ（O为坐标原点），求实数?的取值范围．
19．已知圆C关于y轴对称，经过抛物线y?4x的焦点，且被直线y?x分成两段弧长之比为1：2，求圆C的方程.
20. 平面内动点P（x，y）与两定点A（-2, 0）, B（2,0）连线的斜率之积等于-1/3，若点P的轨迹为曲线E，过点Q(?1,0)作斜率不为零的直线CD交曲线E于点C、D．（1）求曲线E的方程； （2）求证：AC?AD；（3）求?ACD面积的最大值．
21．已知直线l与圆x?y?2x?0相切于点T，且与双曲线x?y?1相交于A、B两点.若T是线段AB的中点，求直线l的方程.
2222、设椭圆x?y?1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭
2222222ab圆与x轴正半轴P、Q两点，且AP?8PQ （I）求椭圆离心率e；
5（II）若过A,F,Q三点的圆恰好与直线l:x?3y?3?0相切，求椭圆方程
答案 一、ABDB A CD D A A C A
125二、13. {x|x>或x?}; 14. 4 ; 15.（0，±3）; 16．（－,?5）.
252x2?3x?2(x?1)(x?2)?0 ?0，得三、17．解：由2(x?3)(x?2)x?x?6x218．（Ⅰ）椭圆方程为?y2?1；（Ⅱ）见解析（Ⅲ）?2???2且??0．
2【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知离心率为
222，可得等式a?2b；又因为椭圆方程过点2M(1，2)可求得b2?1，a2?2，进而求得椭圆的方程； 2（Ⅱ）由直线l与圆x2?y2?2222相切，可得m与k的等式关系即m?(1?k)，然后联立
332m2?24kml直线与椭圆的方程并由韦达定理可得x1?x2??，x1x2?，进而求出1?2k21?2k2??m2?2k2y1y2?，所以由向量的数量积的定义可得OA?OB的值为0，即结论得证；
1?2k2（Ⅲ）由题意可分两种情况讨论：（ⅰ）当m?0时，点A、B关于原点对称；（ⅱ）当m?0时，点A、B不关于原点对称.分别讨论两种情形满足条件的实数?的取值范围即可. 试题解析：（Ⅰ）Q离心率e?c2?，a2?b2?c2，?a2?2b2 a22x2y2?椭圆方程为2?2?1，将点M(1，)代入，得b2?1，a2?2
22bbx2?所求椭圆方程为?y2?1．
2|m|6222222l?m?(1?k) （Ⅱ）因为直线与圆x?y?相切，所以，即23331?k由??y?kx?m,22?x?2y?2，得(1?2k)x?4kmx?2m?2?0．
222设点A、B的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)， 2m2?24km则x1?x2??，x1x2?，
1?2k21?2k2m2?2k2所以y1y2?(kx1?m)(kx2?m)=kx1x2?km(x1?x2)?m=，
1?2k2uuuruuur2m2?2m2?2k23m2?2k2?2所以OA?OB?x1x2?y1y2===0，故OA?OB， ?1?2k21?2k21?2k2222m， 1?2k2uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur由向量加法平行四边形法则得OA?OB?OP，QOP??OQ，?OA?OB??OQ
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得y1?y2?k(x1?x2)?2m?（ⅰ）当m?0时，点A、B关于原点对称，则??0 此时不构成平行四边形，不合题意．
（ⅱ）当m?0时，点A、B不关于原点对称，则??0， ?4km?1?x?,x?(x?x),Q2?Q12uuuruuuruuur??(1?2k)???由OA?OB??OQ，得? 即?
12m?y?(y?y).?y?.Q12Q2?????(1?2k)?Q点Q在椭圆上，?有[?4km22m]?2[]2?2， 22?(1?2k)?(1?2k)化简，得4m2(1?2k2)??2(1?2k2)2． Q1?2k2?0，?有4m2??2(1?2k2)． ①
又Q??16k2m2?4(1?2k2)(2m2?2)?8(1?2k2?m2)，
?由??0，得1?2k2?m2． ②
将①、②两式，得4m2??2m2
Qm?0，??2?4，则?2???2且??0． 综合（ⅰ）、（ⅱ）两种情况，得实数?的取值范围是?2???2且??0．
19.解：设圆C的方程为x2?(y?a)2?r2, 抛物线y2?4x的焦点F?1,0?
?1?a2?r2 ①
又直线y?x分圆的两段弧长之比为1：2，可知圆心到直线y?x的距离等于半
ar1径的, 即? ②
222解①、②得a??1,r2?2 故所求圆的方程为 x2?(y?1)2?2
x23y2??1(x??2)；20．（1）（2）略；（3）1. 44【解析】试题分析：（1）根据题意可分别求出连线PA，PB的斜率kPA，kPB，再由条件斜
1列出方程，进行化简整理可得曲线E的方程，注意点P不与点A,B重合.根据3yyyy1斜率的计算公式可求得kPA=，kPB=，所以?-(x贡2)，化简
x+2x-23x+2x-2率之积为-x23y2??1(x??2)； 整理可得曲线E的方程为44uuuruuur（2）若要证AB^AC，只要证AB?AC0，再利用两个向量数量积为零的坐标运算进行
证明即可.那么由题意可设直线BC的方程为my=x+1，Cx1,y1,Dx2,y2，联立直线与椭圆的方程消去x，可得关于y的一元二次方程(m?3)y?2my?3?0，由违达定理知
22()()y1?y2?2m?3,yy?12m2?3m2?3，则
x1+x2=m(y1+y2)-2=-6m2+3，
uuuruuur?4m2?3x1?x2??my1?1??my2?1??，又AC=(x1+2,y1)，AD=(x2+2,y2)，所以
m2?3uuuruuurAC?AD??x1?2??x2?2??y1y2?x1x2?2?x1?x2??y1y2?4?0，从而可以证明
AB^AC；
（3）根据题意可知S△ACD11?AQ?y1?y2??1?22?y1?y2?24m2?9?4y1y2?， 2m?34m2?943又，故当m?0时，△ACD的面积最大，最大面积为1. ??2222m?3m?3?m?3?试题解析：（1）设动点P坐标为(x,y)，当x??2时，由条件得：
x23y2yy1?1， ???，化简得?44x?2x?23x23y2??1(x??2). 4分（说明：不写x??2的扣1分） 故曲线E的方程为44（2）CD斜率不为0，所以可设CD方程为my?x?1，与椭圆联立得：
(m2?3)y2?2my?3?0设
C(x1,y1),D(x2,y2)， 所以
y1?y2?2m?3，. 6分 ,yy?1222m?3m?32?3(m2?1)2m2(x1?2,y1)?(x2?2,y2)?(m?1)y1y2?m(y1?y2)?1??2?1?0， 2m?3m?3所以AC?AD 8分
14m2?9?（3）?ACD面积为|y1?y2|?22m?343?， 10分 222m?3(m?3)当m?0时△ACD的面积最大为1. 12分[
考点：1.椭圆的方程；2.向量法证明两直线垂直；3.三角形面积的计算.
21．解：直线l与x轴不平行，设l的方程为 x?my?a 代入双曲线方程 整理得
yA?yBam 从而 ??22m?1aama 即 T(xT?myT?a??2,) m?11?m21?m2am2a22a?点T在圆上 ?()?()??0 即m2?a?2 ① 2221?m1?m1?m而m2?1?0，于是yT?由圆心O?(?1,0) .O?T?l 得 kO?T?kl??1 则 m?0 或 m2?2a?1 当m?0时，由①得 a??2,?l的方程为 x??2；
当m2?2a?1时，由①得 a?1 m??3,?l的方程为x??3y?1. 故所求直线l的方程为x??2 或 x??3y?1
22．解：（I）设Q（x0， 0），由F（?c，0）（c?a2?b2）、A（0，b）b2知FA?(c,b),AQ?(x0,?b). ?FA?AQ,?cx0?b?0,x0?.
c28?x0?8b25?,?x1?813c?1?8?设P(x1,y1),由AP?PQ，得? 55?b5?b?y1?813?1??5?8b225()(b)213??1 因为点P在椭圆上，所以13c22ab12a2?c2）?3ac ?2e2?3e?2?0?e?. 整理得2b2?3ac，即（2b23c11?a;由?,得c?a （II）由（I），2b?3ac,得c2a2221311于是F(?a,0),Q(a,0),?AQF的外接圆圆心为(a,0),半径r?FQ?a.
22221|a?3|因为这个圆与直线l:x?3y?3?0相切，所以2?a，
2x2y2??1 解得a=2, ∴c=1，b=3，所求椭圆方程为43
高 二 上 学 期 数 学 期 末 测 试 题
