[学业水平训练]
1.圆锥的底面直径为6||，高是4||，则它的侧面积为( ) A．12π B．24π C．15π D．30π 解析：选C.
作圆锥截面如图||，高AD＝4||，底面半径CD＝3||，则母线AC＝5||，得S侧＝π×3×5＝15π.
2.已知圆锥的侧面展开图为半圆||，半圆的面积为S||，则圆锥的底面面积是( )
S
A．2S B.
22
C.2S D.S
2
解析：选B.设圆锥的母线长为l||，则侧面展开图半圆的半径R＝l.
11
∴S＝πR2＝πl2||，
22
2S
∴l＝ ||，
π
∴圆锥的底面周长C＝πR＝πl＝2πS||，
2πSCS
∴圆锥的底面半径r＝＝＝||，
2π2π2π
S
∴圆锥的底面积为S′＝πr2＝||，故选B.
2
3.若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示||，则其侧面积等于( ) A．6
B．23
C.3 D．2
解析：选A.由主视图可知底面边长为2||，高为1||，因为三棱柱底面为等边三角形||，所以其侧面积S＝6×1＝6.
4.正三棱锥的底面边长为a||，高为3
A.a2 4332C.a 4
解析：选A. 如图所示||，VO＝
6
a||，则三棱锥的侧面积等于( ) 6
3B.a2 2
332D.a
2
1132＝·3a·a＝a||，侧
224
6a331
a||，OA＝·＝a||，∴VA＝a||，∴S62362
故选A.
5.如图所示||，有一个圆柱||，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁||，它想吃到上底面的点B处的食物．当圆柱的高等于12 cm||，底面半径为3 cm时||，蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是( )
A．12 cm B.15π cm
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C.144＋9π2 cm D．18 cm
解析：选C.如图所示||，在圆柱的侧面展开图中||，BC的长为底面圆周长的一半||，即1
BC＝×2π×3＝3π||，蚂蚁所走路程为AB＝122＋（3π）2＝144＋9π2 cm.
2
所以蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是144＋9π2 cm. 6．一个圆柱的底面面积是S||，侧面展开图是正方形||，那么该圆柱的侧面积为________． 解析：设圆柱的底面半径为r||，
S
则πr2＝S||，r2＝. π又因为侧面展开图是正方形||， S
故S侧＝2πr·2πr＝4π2r2＝4π2·＝4πS.
π
答案：4πS
7.若圆台的上、下底面半径和母线长的比为1∶4∶5||，高为8||，则其侧面积为__________．
解析：不妨设上、下底面半径和母线长分别为k、4k、5k(k>0)||，高为8||，如图：
则母线l＝（4k－k）2＋64＝9k2＋64||，可得：
9k2＋64＝5k||，解得k＝2||，∴上、下底面半径r1＝2、r2＝8||，母线长l＝10||，因此S圆台侧＝π(r1＋r2)l＝π×10×10＝100π.
答案：100π
8.如图所示||，一圆柱内挖去一个圆锥||，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心||，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6||，底面半径为2||，则该组合体的表面积等于________．
解析：由已知得圆锥的母线：l＝62＋22＝40＝210. 该组合体的表面积
S＝π×4＋2π×2×6＋π×2×210 ＝4π＋24π＋410π ＝(28＋410)π.
答案：(28＋410)π
9.一个直角梯形的两底长为2和5||，高为4||，将其绕较长的底旋转一周||，求所得旋转体的表面积．
解：
如图所示||，梯形ABCD中||，AD＝2||，AB＝4||，BC＝5. 作DM⊥BC||，垂足为点M||，则DM＝4||，MC＝5－2＝3||， 在Rt△CMD中||，由勾股定理得CD＝32＋42＝5.
在旋转生成的旋转体中||，AB形成一个圆面||，AD形成一个圆柱的侧面||，CD形成一个圆锥的侧面||，设其面积分别为S1||，S2||，S3||，则S1＝π·42＝16π||，S2＝2π·4·2＝16π||，S3＝π·4·5＝20π||，
故此旋转体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝52π.
10.直四棱柱的底面为菱形||，过不相邻两条侧棱的截面面积分别为Q1、Q2||，求它的侧面积．
解：
设直四棱柱的底面边长为a||，侧棱长为l||，如图||，S侧＝4al.
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∵过AA1、C1C与过B1B、D1D的截面都为矩形||，
l，?Q1＝AC·Q1Q2
设?即AC＝||，BD＝. lll，?Q2＝BD·
又∵AC⊥BD||， ACBDQ1Q2
∴()2＋()2＝a2||，即()2＋()2＝a2.
222l2l
2＋Q2||，∴2al＝Q2＋Q2. ∴4a2l2＝Q12122∴S侧＝4al＝2Q21＋Q2.
[高考水平训练] 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中||，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为( )
A.3
2 3
解析：选B.设正方体的棱长为a||， 则正方体的表面积为6a2. C.3 33D. 2B.
三棱锥D1-AB1C是棱长为2a的正四面体．
3
SD1-AB1C表＝4××(2a)2＝23a2||，
4
SD1-AB1C表23a23所以＝＝. 2
6a3S正方体表
2.一个正四棱台上、下两底面边长分别为m、n||，侧面积等于两个底面面积之和||，则这个棱台的高为________．
解析：
如图||，设O1、O分别为棱台上、下底面中心||，M1、M分别为B1C1、BC的中点||，连接O1O、M1M、O1M1、OM||，则M1M为斜高．
过M1作M1H⊥OM于H点||， 则M1H＝OO1||，
1
S侧＝4×(m＋n)·M1M||，
2
S上底＋S下底＝m2＋n2.
m2＋n2
22由已知得2(m＋n)M1M＝m＋n||，∴M1M＝.
2（m＋n）1
在Rt△M1HM中||，MH＝OM－O1M1＝(n－m)||，
2
∴M1H＝O1O＝M1M2－MH2 ＝ 答案：
?m2＋n2?21mn?2（m＋n）?－4（m－n）2＝m＋n. ??
mn
m＋n
3．圆台的母线长为2a||，母线所在直线与轴所在直线的夹角为30°||，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径与两底面面积之和．
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解：
不妨设圆台上底面半径为r||，
下底面半径为2r||，如图作出圆台的轴截面||，并延长母线交于S||，∠ASO＝30°.
r
在Rt△SA′O′中||，＝sin 30°||，
SA′则SA′＝2r.
2r
＝sin 30°||，则SA＝4r||， SA
有SA－SA′＝AA′||，即4r－2r＝2a||，r＝a||，
所以两底面面积之和为S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2.
综上||，圆台两底面半径分别为a||，2a||，两底面面积之和为5πa2. 4.正四棱台的两底面边长分别是a和b(a (1)如图所示||， 设O′||，O分别为上、下底面的中心||， 过C1作C1E⊥AC于E||，过E作EF⊥BC于F||， 连接C1F||，则C1F为正四棱台的斜高． 由题意知||，∠EC1C＝45°||， 在Rt△SAO中||， 2 (b－a)． 22 在Rt△C1CE中||，C1E＝CE＝(b－a)||， 2 1 又EF＝CE·sin 45°＝(b－a)||， 2 3 所以C1F＝C1E2＋EF2＝(b－a)||， 2 13 所以S侧＝(4a＋4b)×(b－a)＝3(b2－a2)||， 22 即棱台的侧面积为3(b2－a2)． 1 (2)由S侧＝a2＋b2||，得(4a＋4b)·h斜＝a2＋b2||， 2 a2＋b2 所以h斜＝. 2（a＋b）CE＝CO－EO＝CO－C1O′＝b－aab2 又因为EF＝||，所以h＝h2||， 斜－EF＝2a＋bab即棱台的高为. a＋b 第4页/共4页
数学北师大版必修2作业：第一章7.1 简单几何体的侧面积
