（4）设Ik=∫esinxdx(k=1,2,3),则有D
ekx2
（A）I1< I2 【答案】：(D) 【解析】：： k2 (B) I2< I2< I3. (D) I1< I2< I3. Ik=∫esinxdx看为以k为自变量的函数，则可知 ekx2ekx2即可知Ik=∫esinxdx关于k在(0,π)上为单调增=Ik'esink≥0,k∈(0,π)， 函数，又由于1,2,3∈(0,π)，则I1 （5）设函数 f (x,y) 可微，且对任意x,y 都 有?f(x,y)?f(x,y) >0,<0,f(x1,y1) 【答案】：(D) 【解析】： (B) x1> x2, y1>y1. (D) x1< x2, y1> y2. ?f(x,y)?f(x,y)>0，<0表示函数f(x,y)关于变量x是单调递增的，关于变?x?y量y是单调递减的。因此，当x1 （6）设区域D由曲线y=sinx,x=±π2,y=1,围成，则∫∫x5y?1dxdy=() ()(A)π(B)2(C)?2(D)?π 【答案】：（D） 【解析】： 由二重积分的区域对称性， ∫∫(x5y?1dxdy=∫2πdx∫?2)π1sinx(x5y?1)dy=?π ?0??0??1???1?????????（7）设α1=0,=1,=?1,=ααα??2??3??4?1?其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向量组线性相关 ?c??c??c??c??1??2??3??4?的是（ ） （A）α1,α2,α3 （B）α1,α2,α4 （C）α1,α3,α4 （D）α2,α3,α4 【答案】：（C） 【解析】：由于(α1,α3,α4)0=0c11?11?1?11==c10，可知α1,α3,α4线性相关。故选（C） ?11c3c4?1????1（8）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且PAP=1??，P=(α1,α2,α3)， ?2???=Q(α1+α2,α2,α3)则Q?1AQ=（ ） ?1??1????? （B）（A）21???? ??1?2??????2??2?????（C） （D）12???? ??2?1?????【答案】：（B） ?100????1【解析】：Q=P110，则Q=???001????100????1110???P， ?001????100??100??100??1??100??1????1???????????1故QAQ=110PAP11011011101?=?=??????????? ??001??001??001????2??2??????????001???故选（B）。 二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．． （9）设y=y(x)是由方程x?y+1=e所确定的隐函数，则【答案】：1 2y ________。 （10）计算limn?x→∞11??1________。 …+++=22222?n+n?2+n?1+n【答案】： π4 【解析】：原式 1n1lim∑=2n→∞ni=1?i?1+???n?dxπ1arctan. x==∫01+x2041（11）设z【答案】：0. ?1??z?zf?lnx+?,其中函数f(u)可微，则x+y2________。 =y??x?y? ?1??z1?z?z2?z′′=f?,=f???2?，所以x+y【解析】：因为=0. ?xx?y?x?y?y? （12）微分方程ydx+(x?3y【答案】：x2)dy=0满足初始条件y|x=1=1的解为________。 =y2 2【解析】：ydx+(x?3y所以 )dy=0?dx1dx1+x=3y为一阶线性微分方程，=3y?x?dyydyyxe又因为y?∫1dyy1dy??1∫y?3y2dy+C?+C??∫3y?edy=?∫?y??(y3+C)1 y=1时x=1，解得C=0，故x=y2. （13）曲线y=x+x(x<0)上曲率为22的点的坐标是________。 2【答案】：(?1,0) 【解析】：将y’=2x+1,y”=2代入曲率计算公式，有 |y′′|=K=(1+y′2)3/22=322??1+(2x+1)??2 2整理有(2x+1)2==x0或?1，又x<0，所以x=?1，这时y=0， 1，解得故该点坐标为(?1,0) （14）设A为3阶矩阵，A=3,A为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B,则 * BA*=________。 【答案】：-27 【解析】：由于B=E12A，故BA=E12A?A=|A|E12=3E12， 所以，|BA|=|3E12|=3|E12|=27*(?1)=?27. 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或．．．演算步骤. （15）（本题满分10分） 已知函数f=(x)（1）求a的值 （2）若当x→0时，f(x)?a是x的同阶无穷小，求k 【解析】：（1）lim=f(x)lim(k***31+x1 ?，记a=limf(x) x→0sinxx, 11x?sinx?=+1)lim=+11，即a=1 x→0x→0sinxx→0xx211x?sinx （2）,当x→0时，由f(x)?=af(x)?1=?=sinxxxsinx13又因为,当x→0时，x?sinx与x等价，故 6（16）（本题满分10分） 1f(x)?a~x，即k=1 6x2+y2求f(x,y=的极值。 )xe?2x2+y2【解析】：f(x,y=， )xe?2先求函数的驻点. fx′(x,y)=0,fy′(x,y)=0，解得函数为驻点为(e,0). e?x=?y=又A=fxx′(e,0)=?1,B=fxy′(e,0)=0,C=fyy′(e,0)=?1， 所以B2?AC<0,A<0，故f(x,y)在点(e,0)处取得极大值f(e,0)=（17）（本题满分10分） 过点（0，1）点作曲线L：y=lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB及 12e. 2x轴围成，求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。 【解析】： 设切点坐标为A(x0,lnx0)，斜率为 11，所以设切线方程为y?lnx0=(x?x0)，又因为该切线过x0x01x+1 2e=yB(0,1)，所以x0=e2，故切线方程为： 切线与x轴交点为B?e2,0 ()y A Y=lnx （0,1） B 2x 2?y212?y22??（1）A=(1)()e?ey?dy=e?ey?y=e?1 ∫0????2??0（2） e21222 ??π∫ln2xdxV=π?2??e??e()??13 e2e282?2 =πe?π?(xlnx)1?∫2lnxdx??13?? 22e82e?2 42ln2=πe?π?e?xx+dx()∫1?1?3?? 82=πe2?2π(e2?1=π(e2+3))33
2011-2020年近十年全国考研数学二试卷真题和答案解析(最新126页含书签导航)
