先证数列{an}单调递减．
11?n+11??n1??n??1?an+1?an=?∑?ln(n+1)???∑?lnn?=ln+ln?=???1+?，
kknnn111+++???n?=??k1=??k1利用（I）的结论可以得到数列{an}单调递减．
再证数列{an}有下界．
n1?1?an=∑?lnn>∑ln?1+??lnn，
k?k?=k1=k1n?1??k+1??234n+1?ln1lnln+===∑∏?????????ln(n+1)，
kk1n23?????k=1k=1?nn1?1?an=∑?lnn>∑ln?1+??lnn>ln(n+1)?lnn>0．
k?k?=k1=k1nn111?1? 【解析】(I)容器的容积即旋转体体积分为两部分 V=V1+V2=π∫1(2y?y)dy+π∫(1?y2)dy 22212?1??y?y?π?y2??+π?y??=π3?1?3??1?2323121??95+?3??=π． 4??4(II) 所做的功为 dw=πρg(2?y)(1?y2)dy+πρg(2?y)(2y?y2)dy =wπρg∫(2?y)(1?y)dy+πρg∫1(2?y)(2y?y2)dy 22?1?πρg?∫2(y3?2y2?y+2)dy+∫1+y3?4y2+4y)dy? ?12??12?122?4yπρg???4?2y?3?112132y?2?112222?2y24y3+2y+?+2y21? ?41312??122?12?127×103=πg3375gπ． 8(21) (本题满分11分) 【解析】因为f(x,1)=0，f(1,y)=0，所以fx′(x,1)=0． ′′(x,y)dy=∫xdx∫ydfx′(x,y) I=∫xdx∫yfxy00001111?yf′(x,y)|1?1f′(x,y)dy?xdx0∫0?∫0x?x??11111∫10xdxfx′(x,1)?∫fx′(x,y)dy 0(1)11? =?∫xdx∫fx′(x,y)dy=?∫dy∫xfx′(x,y)dx=?∫dy?xf(x,y)|1?f(x,y)dx0∫0??00000??11 =?∫dy?f(1,y)?∫f(x,y)dx?=∫∫f(x,y)dxdy=a． ??00??D(22) (本题满分11分) 【解析】(I)由于α1,α2,α3不能由β1,β2,β3线性表示，对(β1,β2,β3,α1,α2,α3)进行初等行变换： ?113101???(β1,β2,β3,α1,α2,α3)=?124013? ?13a115???3101??113101??11????→?011?112?→?011?112?． ?02a?3014??00a?52?10?????当a=5时，r(β1,β2,β3)=2≠r(β1,β2,β3,α1)=3，此时，α1不能由β1,β2,β3线性表示，故α1,α2,α3不能由β1,β2,β3线性表示． (II)对(α1,α2,α3,β1,β2,β3)进行初等行变换： ?101113???(α1,α2,α3,β1,β2,β3)=?013124? ?115135????101113??101113?????→?013124?→?013124? ?014022??001?10?2??????100215???→?0104210?， ?001?10?2???故β1=2α1+4α2?α3，β=α1+2α2，β3=5α1+10α2?2α3． 2(23) (本题满分11分) ?11???11?TT????【解析】(I)由于A00=00，设α1=，则 ?=α1,0,1,1,0,1()()2??????11??11?????A(α1,α2)=α2，而α1≠0,α2≠0，知A的特征值为?α1,Aα2=(?α1,α2)，即Aα1=λ1=?1,λ2=1，对应的特征向量分别为k1α1(k1≠0)，k2α2(k2≠0)． 由于r(A)=2，故A=0，所以λ3=0． 由于A是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设λ3=0对应的特征向量为α3=(x1,x2,x3)，则 T0,?α1Tα3=0,?x1?x3=即 ?T?0．?α2α3=0,?x1+x3=解此方程组，得α3=(0,1,0)，故λ3=0对应的特征向量为k3α3(k3≠0)． T(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化： ααα11TTTβ1=1=(1,0,?1),β2=2=(1,0,1),β3=3=(0,1,0)． α1α2α322??1???T1令Q=(β1,β2,β3)，则QAQ=Λ=??， ?0??? A=QΛQT ?2??2=?0???2?2202???0??1???????1??1??????0???0??222202?0??2?2?0? 2?10??2???2?2??=0??2?22?2???220??200????22??2020??????????0?2?2???02??02??010????1??????01?00?00?．?? 2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．． x2+x渐近线的条数为（） （1）曲线y=2x?1（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】：C x2+x【解析】：lim2=∞，所以x=1为垂直的 x→1x?1 x2+x lim2=1，所以y=1为水平的，没有斜渐近线 故两条选C x→∞x?1（2）设函数f(x)=(ex?1)(e2x?2)?(enx?n)，其中n为正整数，则f'(0)= （A）(?1)n?1(n?1)! （B）(?1)n(n?1)! （C）(?1)n?1n! （D）(?1)nn! 【答案】：C 【解析】：f'(=x)ex(e2x?2)?(enx?n)+(ex?1)(2e2x?2)?(enx?n)+?(ex?1)(e2x?2)?(nenx?n) 所以f'(0)=(?1)n?1n! （3）设an>0(n=1,2,…)，Sn=a1+a2+…an，则数列(sn)有界是数列（an）收敛的 (A)充分必要条件. (B)充分非必要条件. （C）必要非充分条件. 【答案】：(B) （D）即非充分地非必要条件.
2011-2020年近十年全国考研数学二试卷真题和答案解析(最新126页含书签导航)
