?2z?2z?2z
=f′(x)g′(y),2=g′′(y)f(x), 又因为2=f′′(x)g(y),
?x?y?y?x
α2z?2z
|(0,0)=f′(0)?g′(0)=0,所以,=A=|f′′(0)?g(0),B=2(0,0)
?x?y?x
?2z=C=|f(0)?g′′(0), 2(0,0)?y根据题意由(0,0)为极小值点,可得AC?B2=A?C>0,且A=f′′(0)?g(0)>0,所以有
C=f(0)?g′′(0)>0.由题意f(0)>0,g(0)<0,所以f′′(0)<0,g′′(0)>0,故选(A).
(6)【答案】(B). 【解析】因为0 又因lnx是单调递增的函数,所以lnsinx 【解析】由于将A的第2列加到第1列得矩阵B,故 ?100???A?110?=B, ?001????1即AP1=B,A=BP1. 由于交换B的第2行和第3行得单位矩阵,故 ?100???001??B=E, ?010????1?1即P2B=E,故=BP=P2.因此,A=P2P21,故选(D). (8)【答案】(D). 【解析】由于(1,0,1,0)T是方程组Ax=0的一个基础解系,所以A(1,0,1,0)T=0,且 0,且A=0.由此可得=A*A|A=|EO,即r(A)=4?1=3,即α1+α3=A*(α1,α2,α3,α4)=O,这说明α1,α2,α3,α4是A*x=0的解. 由于r(A)=3,α1+α3=0,所以α2,α3,α4线性无关.又由于r(A)=3,所以 3个线性无关的解向量.而α2,α3,α4线r(A*)=1,因此A*x=0的基础解系中含有4?1=性无关,且为A*x=0的解,所以α2,α3,α4可作为A*x=0的基础解系,故选(D). 二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.) ...(9)【答案】2. 【解析】原式=ex→0lim(1+2x1?1)x2?x=e=e2x?1x→02xlim2x?ln2x→02lim=e=1ln222. (10)【答案】y=esinx. 【解析】由通解公式得 dx?dx=ye∫(∫e?xcosx?e∫dx+C) =e?x(cosxdx+C) ∫ =e(sinx+C). 由于y(0)=0,故C=0.所以y=e?x?xsinx. 22(11)【解析】选取x为参数,则弧微元ds=1+(y′)dx=1+tanxdx=secxdx π所以s=secxdx=lnsecx+tanx04=ln(1+2). 40∫π(12)【答案】 1λ. 【解析】原式=∫+∞0xλe?λxdx=?∫+∞0+∞0xde?λx x1?λxe0+?x→+∞eλxλ+∞0 =?xe?λx+∞0+∫e?λxdx=?lim =?lim11?110?. lim??=e?x→+∞λx?x→+∞λeλxeλ??λ(13)【答案】 7. 12π【解析】原式=π∫π24dθ∫2sinθπ0rcosθ?rsinθrdr=∫π2rcosθ?sinθdθ∫42sinθ0r3dr =∫π241sinθ?cosθ??16sin4θdθ=4∫π2π44cosθ?sinθdθ=4∫sin5θdsinθ 5π2π446π76sinθπ==. 6124(14)【答案】2. 【解析】方法1:f的正惯性指数为所对应矩阵的特征值中正的个数. ?111???二次型f对应矩阵为A=131. ???111???λ?1λE?A=?1?1 =λ?1?1λ0?λλ00λ?3?1?1=?1λ?3?1=?1λ?3?2 λ?1?1?1λ?1?1?1λ?2λ?3?1?2=λ(λ?1)(λ?4), λ?2故=λ10,=λ21,=λ34.因此f的正惯性指数为2. 方法2:f的正惯性指数为标准形中正的平方项个数. 22f(x1,x2,x3)=x12+3x2+x3+2x1x2+2x1x3+2x2x3 = =(x1+x2+x3)(x1+x2+x3)22222?x2?2x2x3?x3+3x2+x3+2x2x3 2, +2x22?y1=x1+x2+x3,?2则=,故f的正惯性指数为2. 令?y2=x2,fy12+2y2?y=x,3?3三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文...字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分10分) ∫【解析】如果a≤0时,limx→+∞x0ln(1+t2)dtxa=limx?∫ln(1+t2)dt=+∞, x→+∞0?ax显然与已知矛盾,故a>0. 当时a>0,又因为 x→0+∫limx0ln(1+t2)dtxaln(1+x2)13?ax2lim=lim==?x=0. lima?1x→0+x→0+axx→0+aaxa?1所以3?a>0即a<3.
2011-2020年近十年全国考研数学二试卷真题和答案解析(最新126页含书签导航)
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