第六章 圆
第一节 圆的性质及其证明与计算
中考试题中的数学文化
勒密定理
【文化背景】
罗狄斯·托勒密(Claudius Piolemaeus，约90年－168年)．“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家、地理学家、数学家和光学家．托勒密定理实出自依巴谷(Hispparchus)之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善．
【中考对接】
1. 请阅读下列材料，并完成相应的任务：
托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 下面是该定理的证明过程：
已知：如图①，四边形ABCD内接于⊙O. 求证：AB·DC＋AD·BC＝AC·BD.
证明：如图②，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E， ︵︵
∵AD＝AD，∴∠ABE＝∠ACD， ABBE
∴△ABE∽△ACD，∴＝，
ACCD∴AB·DC＝AC·BE，
︵︵
∵AB＝AB，∴∠ACB＝∠ADE( )※，
∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE＋∠EAC＝∠CAD＋∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED，
∴
BCAC
＝，∴AD·BC＝AC·ED， EDAD
∴AB·DC＋AD·BC＝AC·BE＋AC·ED＝AC(BE＋ED)＝AC·BD.
第1题图
任务： (1)
托
勒
密
定
理
的
逆
命
题
是
______________________________________________________________________；
(2)将上面证明过程中标“※”这一步的理由写在下面的横线上__________________________________；
(3)如图③，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝1，求对角线BD的长．
参考答案
中考试题中的数学文化
1. 解：(1)如果四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆内接四边形； (2)同弧所对的圆周角相等； (3)如解图，连接AD，AC， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴△ABC≌△DCB≌△AED. ∴设BD＝AC＝AD＝x.
在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理可得： AB·DC＋AD·BC＝AC·BD， 即1×1＋x·1＝x2.
1＋51－5
解得x1＝，x2＝(舍去)，
221＋5
∴对角线BD的长是.
2
第1题解图
九年级中考试题中的数学文化第一节 圆的性质及其证明与计算
