三.解答题:
(17)本小题考查线面关系和棱锥体积计算,以及空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分. 解:(Ⅰ)直角梯形ABCD的面积是
M底面?1?BC?AD??AB?1?0.5?1?3, ……2分 224∴ 四棱锥S—ABCD的体积是
1V??SA? M底面
313 ??1?
341. ……4分
?4(Ⅱ)延长BA、CD相交于点E,连结SE则SE是所求二面角的棱. ……6分
∵ AD∥BC,BC = 2AD, ∴ EA = AB = SA,∴ SE⊥SB,
∵ SA⊥面ABCD,得SEB⊥面EBC,EB是交线, 又BC⊥EB,∴ BC⊥面SEB, 故SB是CS在面SEB上的射影, ∴ CS⊥SE,
所以∠BSC是所求二面角的平面角. ……10分 ∵ SB?SA2?AB2?2,BC =1,BC⊥SB,
BC2?. SB22. ……12分 2∴ tan∠BSC ?即所求二面角的正切值为
(18)本小题考查复数基本性质和基本运算,以及分析问题和解决问题的能力.满分12分. 解:(Ⅰ)z1 = i (1-i) 3 = 2-2i, 将z1化为三角形式,得
7?7??z1?22?cos?isin44???, ? ∴ argz1?7?,z1?22. ……6分 4 (Ⅱ)设z = cos α+i sin α,则
z-z1 = ( cos α-2)+(sin α+2) i,
z?z1??cos??2???sin??2?
222
?9?42sin(???4), ……9分
当sin(???4) = 1时,z?z12取得最大值9?42.
从而得到z?z1的最大值为22?1. ……12分
(19)本小题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力.满分12分. 证明一:因为抛物线y2 =2px (p>0)的焦点为F (
p,0),所以经过点F的直线的方程可设为 2x?my?代入抛物线方程得
p; ……4分 2y2 -2pmy-p2 = 0,
若记A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是该方程的两个根,所以
y1y2 = -p2. ……8分
因为BC∥x轴,且点c在准线x = -故直线CO的斜率为
p上,所以点c的坐标2为(-
p,y2),2k?y22py1??. py1x1?2即k也是直线OA的斜率,所以直线AC经过原点O. ……12分
证明二:如图,记x轴与抛物线准线l的交点为E,过A作AD⊥l,D是垂足.则
AD∥FE∥BC. ……2分
连结AC,与EF相交于点N,则
ENAD?CNAC?BFAB,
NFBC?AFAB ……6分 ,根据抛物线的几何性质,AF?AD,
BF?BC, ……8分
∴ EN?AD?BFAB?AF?BCAB?NF,
即点N是EF的中点,与抛物线的顶点O重合,所以直线AC经过原点O. ……12分 (20)本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力.满分12分. (Ⅰ)证明: 对于1<i≤m有
i pm= m·…·(m-i+1),
ipmmm?1m?i?1???…, ?immmmipnnn?1n?i?1?…? 同理 i??, ……4分
nnnn 由于 m<n,对整数k = 1,2…,i-1,有
n?km?k, ?nmiipnpmiiii所以 i?i,即mpn?npm. ……6分
nm(Ⅱ)证明由二项式定理有
?1?m?ni??miCn, i?0n ?1?n??miiii由 (Ⅰ)知mpn>npm(1<i≤m<n=,
?nCii?0mim, ……8分
iipmpni而 C?,Cn?, ……10分
i!i!imiiii所以, mCn?nCm(1<i≤m<n=.
因此,
?mCii?2mini??niCm. i?2m000011ii又 mCn?nCm?1,mCn?nCm?mn,mCn?0?m?i?n?.
∴
?mCii?0nini??niCm. i?0m即 (1+m)n>(1+n)m. ……12分
(21)本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.
解:(Ⅰ)第1年投入为800万元,第2年投入为800×(1-
1)万元,……,第n年投入为800×5(1-
1n-1
)万元. 511-
)+…+800×(1-)n1 55所以,n年内的总投入为
an = 800+800×(1-
1??800?(1?)k?1
5k?1= 4000×[1-(
n4n
)]; ……3分 51第1年旅游业收入为400万元,第2年旅游业收入为400×(1+)万元,……,第n年旅游业收
41-
入为400×(1+)n1万元.
4
所以,n年内的旅游业总收入为
bn = 400+400×(1+
11-
)+…+400×(1+)n1 445??400?()k?1
4k?1= 1600×[ (
n
4n
)-1]. ……6分 5bn-an>0,
(Ⅱ)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,由此
即 1600×[(
5n 4)-1]-4000×[1-()n]>0. 4544化简得 5×()n+2×()n -7>0, ……9分
554设x?()n,代入上式得
55x2-7x+2>0,
解此不等式,得
2,x>1(舍去). 542即 ()n<,
55x?由此得 n≥5.
答:至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入. ……12分
(22)本小题主要考查函数的概念、图像,函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识;考查运算能力和逻辑思维能力.满分14分.
(Ⅰ)解:因为对x1,x2∈[0,
f(x)?f (
1],都有f (x1+x2) = f (x1) · f (x2),所以 2xx) · f ()≥0,x∈[0,1]. 2211111∵ f(1)?f (?) = f () · f () = [f ()]2,
22222111111 f ()?f (?) = f () · f () = [f ()]2. ……3分
244444f(1)?a?0,
11∴ f ()?a2,f ()?a4. ……6分
24(Ⅱ)证明:依题设y = f (x)关于直线x = 1对称, 故 f (x) = f (1+1-x),
即f (x) = f (2-x),x∈R. ……8分 又由f (x)是偶函数知f (-x) = f (x) ,x∈R, ∴ f (-x) = f (2-x) ,x∈R, 将上式中-x以x代换,得
f (x) = f (x+2),x∈R.
这表明f (x)是R上的周期函数,且2是它的一个周期. ……10分 (Ⅲ)解:由(Ⅰ)知f (x)≥0,x∈[0,1].
111111)= f (n ·) = f (+(n-1)·) 22n2n2n11 = f () · f ((n-1)·)
2n2n111 = f () · f () · … ·f ()
2n2n2n∵ f (
2001年高考全国卷理科数学试题及答案
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