高中数学-指数函数、对数函数、幂函数单元检测
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列判断正确的是（ ） A．1.61.5?1.62
B．0.50.2?0.50.3
C．1.60.3?0.53.1
D．log20.5?log32
【答案】B
【解析】y?1.6x是单调递增函数，1.5?2，所以1.61.5?1.62，A不正确；y?0.5x是单调递减函数，
0.2?0.3，所以0.50.2?0.50.3，B正确；1.60.3?1.60?1，而0?0.53.1?1，所以1.60.3?0.53.1，C不正
确；log20.5?0，0?log32?1，所以log20.5?log32，D不正确，故选B． 2．幂函数y?f?x?的图象经过点?8,22?，则f?x?的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设函数f?x??x?，8??22，解得??1
12
，所以f?x??x2?x，故选D．
3．当0?a?1时，在同一坐标系中，函数y?a?x与y?logax的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
x【解析】∵函数y?a?x与可化为函数y???1??a??，底数1a?1，其为增函数，又y?logax，当0?a?1时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减，故选A．
4．已知0?a?1，则a2，2a，log2a的大小关系为（ ）
A．a2?2a?log2a B．log2a?a2?2a C．2a?a2?log2a
D．2a?log2a?a2
【答案】C
【解析】由已知，根据幂函数、指数函数、对数函数的单调性，可得0?a2?1，1?2a?2，log2a?0，由此可得log2a?a2?2a，故正确答案为C． 5．函数f?x??log21?x?2x?3?的单调递减区间是（ ）
2A．???，1? B．???，?1?
C．?3，???
D．?1，???
【答案】C
【解析】要使函数有意义，则x2?2x?3?0，解得x??1或x?3， 设t?x2?2x?3，则函数在???，1?上单调递减，在?1，???上单调递增．
因为函数log0.5t在定义域上为减函数，
所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是?3，???．故选C． ?0．86．已知a?21．2，b???1??2??，c?2log62则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c?a?b B．c?b?a C．a?b?c D．a?c?b
【答案】B
?0．8【解析】根据指数函数与对数函数的图象与性质可得：1?b???1????20．8?21．22??a，
而c?2log62?log64?1，所以c?b?a，故选B．
x7．关于x的方程??1??4???a?2?0有解，则a的取值范围是（ ）
A．0?a?1 B．1?a?2
C．a?1
D．a?2
【答案】B
【解析】??1?x?1?x?1?x?4???a?2?0有解等价于a?2???4??有解，由于x?0，所以0???4???1，由此
xx1?2???1??4???2,可得关于x的方程??1??4???a?2?0有解，则a的取值范围是1?a?2，故选B．
8．已知函数f?x??log?xxaa2?4a?1?，且0?a?1，则使f?x??0的x的取值范围是（ ） A．???,0? B．?0,??? C．?2loga2,??? D．???,2loga2?
【答案】D
【解析】由于0?a?1，且f?x??0，所以a2x?4ax?1?1，a2x?4ax?ax?ax?4??0，即ax?4，x?loga4?2loga2，故选D．
9．函数f?x??lnx?2?x2与g?x??4x，两函数图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】由lnx?2?x2?4x，得lnx?2??x2?4x，画出y?lnx?2，y??x2?4x，两个函数图像如下图所示，由图可知，两个函数图像都关于直线x?2对称，故交点横坐标之和为．故选C．
10．若不等式loga?ax2?2x?1??0（a?0，且a?1）在x??1,2?上恒成立，则a的取值范围是
（ ） A．?1,2?
B．?2,???
C．?0,1?U?2,???
D．??0,1???2?
【答案】B
【解析】满足题意时，二次函数f?x??ax2?2x?1?0恒成立，
结合a?0有：????2?2?4a?1?0，求解不等式有：a?1， 则二次函数的对称轴：??22a?1a??0,1?，函数f?x?的最小值为f?1??a?1， 结合对数函数的性质可得不等式：loga?a?1??0，?a?1?1，a?2，
即a的取值范围是?2,???．本题选择B选项． 11．已知函数f?x?为偶函数，当x?0时， f?x??x?4?x，
设a?f?log0.230.2?， b?f?3??，c?f??31.1?，则（ ）
A． c?a?b B． a?b?c
C． c?b?a
D． b?a?c
【答案】A 【解析】Qy?x在定义域内为增函数，y??4?x在R上为减函数，
?f?x?在?0,???上为增函数，Q函数f?x?为偶函数，
且a?f?log30.2??f??log30.2?，log30.2??1，3??log30.2?1，
b?f?3?0.2?，0?3?0.2?1，c?f??31.1??f?31.1?，31.1?3， 故31.1??log0.230.2?3?，由单调性可得f??31.1??f?log30.2??b?f?3?0.2?，
?c?a?b，故选A．
12．设函数f?x????x?2?1,x?2，若互不相等的实数a，?x?5,x?2b，c满足f?a??f?b??f??c?，则
?2a?2b?2c的取值范围是（ ）
A．?16,32? B．?18,34?
C．?17,35?
D．?6,7?
【答案】B
【解析】画出函数f?x?的图象如图所示．
不妨令a?b?c，则1?2a?2b?1，则2a?2b?2．
结合图象可得4?c?5，故16?2c?32，∴18?2a?2b?2c?34．故选B．
二、填空题
13．已知函数f?x??log2?x2?a?，若f?3??1，则a?________． 【答案】-7
【解析】根据题意有f?3??log2?9?a??1，可得9?a?2，所以a??7，故答案是?7． 14．log318?log32?eln1? __________． 【答案】3
【解析】logln1318?log32?e?log1832?1?log39?1?2?1?3，故答案为3． 15．函数f?x??ax?2015?2017（a?0且a?1）所过的定点坐标为__________． 【答案】?2015,2018?
【解析】当x?2015时，f?2015??a2015﹣2015?2017?a0?2017?2018， ∴f?x??ax﹣2015?2017（a?0且a?1）过定点A?2015,2018?．故答案为?2015,2018?．
16．已知函数f?x??????1?2a?x?3a,x?11 ，的值域为R，那么a的取值范围是________．
??lnx,x?【答案】???1,1??2?? 【解析】由题意得当x?1时，lnx?0， 要使函数f?x?的值域为R，则需满足??1?2a?0，解得?1?2a?3a?ln1?1?a?12．
所以实数的取值范围为????1,1?2??，故答案为??1???1,2??．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(10分）计算题
1（1）log327?lg25?lg4?7log72???9.8?0．
（2）计算：lg25?23lg8?lg5?lg20??lg2?2． 【答案】（1）5；（2）3．
1【解析】（1）log327?lg25?lg4?7log72???9.8?0 3?log332?lg52?lg22?12?1 ?32?2lg5?2lg2?32 ?3?2?lg5?lg2?
?3?2lg10
?3?2?1 ?5．
（2）lg25?23lg8?lg5?lg20??lg2?2 ?lg52?23lg23?lg5??lg5?lg4???lg2?2 ?2lg5?2lg2??lg5?2?2lg5?lg2??lg2?2
?2?lg5?lg2???lg5?lg2?2 ?2lg10??lg10?2
?2?1
?3．
18．(12分）已知函数f?x??log1?x31?x． （1）求函数的定义域． （2）判断f?x?的奇偶性．
（3）判断f?x?的单调性（只写出结论即可），并求当?12?x?45时，函数f?x?的值域．【答案】（1）?x|?1?x?1?；（2）奇函数；（3）增函数，??1,2?． 【解析】（1）由
1?x1?x?0??1?x??1?x??0??1?x?1，
∴此函数定义域为?x|?1?x?1?．
?1（2）∵f??x??log1?x?1?x?1?x31?x?log3??1?x????log31?x??f?x?，∴f?x?为奇函数． （3）f?x??log1?x?2?31?x?log3???1?1?x??，可得f?x?在定义域内为增函数． ∵f?x?在区间???14????2,?5??上为增函数，?函数的值域为??f??1??4??2??,f?5????， ?即??1,2?为所求．
19．(12分）已知函数f?x??ax（a?0且a?1）的图象经过点??2,1???9?．
（1）比较f?2?与f?b2?2?的大小； （2）求函数g?x??ax2?2x，?x?0?的值域．
【答案】（1）f?2??f?b2?2?；（2）?0,3?． 【解析】（1）由已知得a2?19，∴a?13， ∵f?x???x?1??3??在R上递减，2?b2?2，∴f?2??f?b2?2?．
x2?2x（2）∵x?0，∴x2?2x??1，∴??1??3???3，
∴g?x?的值域为?0,3?．
20．(12分）已知函数f?x??b?ax(其中a，b为常量且a?0且a?1）的图象经过点A?1,8?，
B?3,32?．
（1）试求a，b的值； xx（2）若不等式??1??a?????1??b???m?0在x????,1?时恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）a?2，b?4；（2）m?34． 【解析】（1）由已知可得b?a?8且b?a3?32?a2?4?a?2且b?4．
xxxx（2）解：由（1）可得m???1??2?????1??4??，x????,1?令u???1??1??2?????4??，x????,1?，
xx只需m?u?1???2??1??4??，x????,1?，在???,1?为单调减函数，?u33min，易得u????min?4，?m?4．
21．(12分）已知函数f?x??a3?ax（a?0且a?1）．
（1）当a?2时，f?x??4，求x的取值范围；
（2）若f?x?在?0,1?上的最小值大于1，求a的取值范围． 【答案】（1）x?12；（2）1?a?3． 【解析】（1）当a?2时，f?x??23?2x?4?22，3?2x?2，得x?12． （2）令y?3?ax，则y?3?ax在定义域内单调递减， 当a?1时，函数f?x?在?0,1?上单调递减，f?x?3?amin?f?1??a?1?a0，得1?a?3．
当0?a?1时，函数f?x?在?0,1?上单调递增，f?x?3min?f?0??a?1，不成立． 综上1?a?3．
22．(12分）已知函数f?x??b?ax（其中a，b为常量，且a?0，a?1的图象经过点A?1,2?，B?3,8?． （1）求a，b的值．
x（2）当x??2时，函数y???1?1?a???b的图像恒在函数y?4x?m图像的上方，求实数m的取值范围．
n（）定义在?p,q?上的一个函数m?x?，如果存在一个常数M?0，使得式子
?m?xi??m?xi?1??Mi?1对一切大于1的自然数n都成立，则称函数m?x?为“?p,q?上的H函数”（其中，P?x0?x1?L?xi?1?x?L?xn?q)．试判断函数f?x?是否为“??1,3?上的H函数”．若是，则
n求出M的最小值；若不是，则请说明理由．（注：
?k?xi??k?x1??k?x2??L?k?xn?）．
i?1【答案】（1）a?2，b?1；（2）m?13；（3）
152． 【解析】（1）代入点A?1,2?，B?3,8?，得???b?a?2? 下式除上式得a2?4?b?a3?8， ∵a?0，∴a?2，b?1，f?x??2x．
x（2）函数y???1?1?a???b的图像恒在函数y?4x?m图像的上方，
?1?代入a?2，b?1得函数y????1的图像恒在函数y?4x?m图像的上方，设
?2??1?g?x?????1?4x?m，
?2??1?∵y???在???,2?上单调递减，y??4x在???,?2?上单调递减，
?2?xxx∴g?x?在???,?2?上为单调递减函数，
∴gmin?x??g??2??13?m，要使g?x?在x轴上方恒成立，即13?m?0恒成立，即m?13． （3）∵f?x??2x在??1,3?上单调递增， ∴
?|(f?x??f?xii?1ni?1??f?x1??f?x0??f?x2??f?x1??L?f?xn??f?xn?1?|
?f?x1??f?x0??f?x2??f?x1??L?f?xn??f?xn?1?
?f?x1??f?x0??f?x2??f?x1??L?f?xn??f?xn?1? ??f?x0??f?xn? ?f?3??f??1? ?23?2?1 ?15． 215． 2∴M的最小值为
高中数学-指数函数、对数函数、幂函数单元检测
