∴ 100?(x?2)?(12?x)， 即x2?10x?24?0， 解之，得x1?4，x2?6.
故CE的长为4或6.
10．实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是 . 答：
2213 32解：∵ x?y?5?z，xy?3?z(x?y)?3?z(5?z)?z?5z?3， ∴ x、y是关于t的一元二次方程
t2?(5?z)t?z2?5z?3?0
的两实根.
∵ ??(5?z)?4(z?5z?3)?0，即
223z2?10z?13?0，(3z?13)(z?1)?0.
13131，当x?y?时，z?. 33313故z的最大值为.
3∴ z?三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11．通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）. 当0?x?10时，图象是抛物线的一部分，当10?x?20和20?x?40时，图象是线段.
（1）当0?x?10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；
（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36. 解：（1）当0?x?10时，设抛物线的函数关系式为y?ax?bx?c，由于它的图象经过点（0，20），（5，39），（10，48），所以
2 第41页
?c?20,??25a?5b?c?39, ?100a?10b?c?48.?241解得，a??，b?，c?20.
55所以
（第11（A）题图） 124y??x2?x?20，0?x?10. ???????（5分）
557（2）当20?x?40时，y??x?76.
5124所以，当0?x?10时，令y=36，得36??x2?x?20，
55解得x=4，x?20（舍去）；
7当20?x?40时，令 y=36，得36??x?76，解得
52004x??28. ????????（10分）
7744因为28?4?24?24，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36
77时，讲授完这道竞赛题. ????????（15分）
12．已知a，b是实数，关于x，y的方程组
?y?x3?ax2?bx, ??y?ax?b有整数解(x,y)，求a，b满足的关系式.
解：将y?ax?b代入y?x?ax?bx，消去a、b，得
y?x?xy， ?????????（5分）
332(x?1)y?x3.
若x+1=0，即x??1，则上式左边为0，右边为?1不可能. 所以x+1≠0，于是
x31y??x2?x?1?.
x?1x?1因为x、y都是整数，所以x?1??1，即x??2或x?0，进而y=8或y?0. 故
?x??2 ? 或
y?8??x?0 ?????????（10分） ?y?0? 第42页
?x??2当?时，代入y?ax?b得，2a?b?8?0；
y?8?当??x?0时，代入y?ax?b得，b?0.
?y?0综上所述，a、b满足关系式是2a?b?8?0，或者b?0，a是任意实数.
?????????（15分）
13．D是△ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得
PB的值. PD解：连结AP，则?APB??ACB??ADP，
?ADP??ACB，求
所以，△APB∽△ADP， ??????????（5分） ∴
ABAP， ?APAD所以AP2?AB?AD?3AD2， ∴AP?所以
3AD， ??????????（10分）
（第13（A）题图） PBAP??3. ??????????（15分） PDAD214．已知a?0，b?0，c?0，且b?4ac?b?2ac，求b2?4ac的最小值. 解：令y?ax?bx?c，由a?0，b?0，c?0，判别式
2??b2?4ac?0，所以这个二次函数的图象是一条开口向下的
抛物线，且与x轴有两个不同的交点A(x1,0)，B(x2,0)，因为
c?0，不妨设x1?x2，则x1?0?x2，对称轴abx???0，于是
2ax1x2?（第14（A）题图） ?b?b2?4acb?b2?4acx1???c， ??????（5分）
2a2a4ac?b2b?b2?4acb2?4ac?c???所以， ???????（10分） 4a2a2a故b?4ac?4，
2 第43页
当a??1，b=0，c=1时，等号成立.
所以，b2?4ac的最小值为4. ?????????（15分）
2005年全国初中数学竞赛试卷
题号 一 1~5 得分 二 6~10 11 12 三 13 14 总分 一、选择题(满分30分)
1.如图a，ABCD是一矩形纸片，AB=6cm，AD=8cm,E是AD上一点，且AE=6cm，操作：⑴将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；⑵将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c，则△GFC的面积为( )
EB(E)DDB(E)DAAA
G
CBFFCFC
图a图c图b
A.2 B.3 C.4 D.5
2.若M=3x2－8xy＋9y2－4x＋6y＋13(x，y是实数)，则M的值一定是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.整数
3.已知点I是锐角△ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点。若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.设A?48?(111???)，则与A最接近的正整数是( ) 32?442?41002?4A.18 B.20 C.24 D.25
5.在自变量x的取值范围59≤x≤60内，二次函数y?x2?x?1的函数值中整数的个数是( ) 2A.59 B.120 C.118 D.60
第44页
二、填空题(满分30分)
6.在一个圆形的时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针(O为两针的旋转中心)。若现在时间恰好是12点整，则经过_____秒后，△OAB的面积第一次达到最大。
32m(m?0)与x轴交于A，B的两点。若A，B两4112点到原点的距离分别为OA，OB，且满足??，则m=_____.
OBOA37.在直角坐标系中，抛物线y?x2?mx?
8.有两幅扑克牌，每幅的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A，2，3，?，J，Q，K的顺序排列。某人把按上述排列的两幅扑克牌上下叠放在一起，然后从一到下把第一张丢去，把第二张放在最底层，再把第三张丢去，把第四张放在底层，??如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是_________
9.已知D，E分别是△ABC的边BC，CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2。连结AD
C和BE，它们交于点P。过P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分
别与边AB交于点Q，R，则△PQR的面积与△ABC的面积的比是________ E P10.已知x1,x2,x3,?x19都是正整数，且x1+x2+x3+?+x19=59，x12+x22+x32+?+x192的最大值为A，最小值为B，则A+B的值等于_________。
AQR
三、解答题、(满分60分)
11.8 人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人(不包括司机)。其中一辆小汽车在距离火车站15km地方出现故障，此时距停止检票的时间还有42分钟。这时惟一可用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h。试设计两种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站。
12.如图，半径不等的两圆相交于A、B两点，线段CD经过点A，且分别交两圆于C、D两点。连结BC、BD，设P，Q，K分别是BC，BD，CD的中点。M，N分别是弧BC和弧BD的中点。求证：(1)
DBBPNQ (2) ①△KPM∽△NQK ?MPBQCADPQB M N 第45页
第14题图
全国初中数学竞赛 - 1998~2012 - 试题集锦（附解答）
