所以
12．(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程
有两个相等的实根，于是
又
(2)由(1)知，a=a＋1，反复利用此式可得
422
a=(a＋1)=a＋2a+1=3a+2，
822
a=(3a＋2)=9a＋12a＋4=21a＋13，
1622
a=(21a+13)=441a＋546a＋169 ＝987a＋610，
182
a＝(987a＋610)(a＋1)＝987a＋1597a＋610 =2584a＋1597．
2
因为a-a-1=0，所以64a-64a-65=-1，即
(8a+5)(8a-13)=-1．
所以
a＋323a－6=2584a＋1597＋323(-8a＋13)=5796．
13．(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，x，18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10．于是
W=200x＋300x+400(18-2x)＋800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)
=-800x＋17200．
18
2
2
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W=-800x＋17200(5≤x≤9，x是整数)．
由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元．
(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别为10-x，10-y，x＋y-10．于是
W=200x+800(10-x)+300y＋700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y-10)
=-500x-300y+17200．
W=-500x-300y+17200，
且
W=-200x-300(x+y)+17200
≥-200×10-300×18＋17200=9800． 当x=10，y=8时，W=9800，所以W的最小值为9800．又 W=-200x-300(x＋y)＋17200
≤-200×0-300×10+17200=14200，
当x=0，y=10时，W=14200，所以W的最大值为14200．
1999年全国初中数学竞赛试卷
一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A，B， C，D的四个结论，其中只有一个是正确的．请将正确答案的代号填在题后的括号里）
1．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（ ）． A．11 B．12 C．13 D．14
2．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费（ ）． A．60元 B．66元 C．75元 D．78元
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3．已知
，那么代数式
的值为（ ）．
A． B．－ C．－ D．
4．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（ ）．
A．30 B．36 C．72 D．125
5．如果抛物线
与x轴的交点为A，B，项点为C，那么三角形ABC
的面积的最小值是（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 6．在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得△PCD与△BCD的面积相等，并且△ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为（ ）． A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）
7．已知，那么x + y
22
的值
为 ．
8．如图1，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点P在边DC上运动，EP与AB的交点为F．设DP=xcm，△EFB与四边形
2
AFPD的面积和为ycm，那么，y与x之间的函数关系式是 （0＜x＜10）．
9．已知ab≠0，a + ab－2b = 0，那么的值为 ．
10．如图2，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，A，B两点在第Ⅰ象限内，OA
2
2
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与x轴的夹角为30°，那么点B的坐标是 ．
11．设有一个边长为1的正三角形，记作A1（如图3），将A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2（如图4）；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如图5）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长是 ．
12．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两 台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 台．
三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）
13．设实数s，t分别满足19s + 99s + 1 = 0，t + 99t + 19 = 0，并且st≠1，求的值．
14．如图6，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和
BD的交点是P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长．
15．有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3．例如，30可以这样得到：
．
2
2
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（1）（10分）证明：可以得到22；
10097
（2）（10分）证明：可以得到2 + 2－2．
1999年全国初中数学竞赛答案
一、1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 6．D
二、7．10 8．y = 5x + 50 9． 10． 11． 12．6
三、13．解：∵s≠0，∴第一个等式可以变形为：
又∵st≠1，
．
∴，t是一元二次方程x + 99x + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有 ．
即st + 1 =－99s，t = 19s．
∴．
14．解：设圆心为O，连接BO并延长交AD于H．
∵AB=BD，O是圆心， ∴BH⊥AD． 又∵∠ADC=90°， ∴BH∥CD．
从而△OPB∽△CPD．
∴CD=1．
于是AD= 又OH=CD= AB= BC=
，于是
， ．
． ，
2
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全国初中数学竞赛 - 1998~2012 - 试题集锦（附解答）
