1998年全国初中数学竞赛试卷
一、选择题：（每小题6分，共30分）
1、已知a、b、c都是实数，并且a?b?c，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）ab?bc（Ｂ）a?b?b?c（Ｃ）a?b?b?c（Ｄ）
2ab? cc2、如果方程x?px?1?0?p?0?的两根之差是1，那么p的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）5
3、在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（ ）
（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知abc?0，并且
a?bb?cc?a???p，那么直线y?px?p一定通过第（ ）cab象限
（Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组??9x?a?0的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的
?8x?b?0有序数对（a、b）共有（ ）
（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 二、填空题：（每小题6分，共30分）
6、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=___________。
7、已知直线y??2x?3与抛物线y?x相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于___________。
8、已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。
9、已知方程ax?3a?8ax?2a?13a?15?0（其中a是非负整数），至少有一个整数根，那么a=___________。
10、B船在A船的西偏北450处，两船相距102km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是___________km。
三、解答题：（每小题20分，共60分）
222?2?2 第1页
11、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积。
12、设抛物线y?x2??2a?1?x?2a?AE5的图象与x轴4BFC只有一个交点，（1）求a的值；（2）求a18?323a?6的值。
13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台。已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。
（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。
（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值。
解 答
1．根据不等式性质，选B．．
2111
2．由△=p-4＞0及p＞2，设x，x2为方程两根，那么有x+x2=-p，xx2=1．又由
12121
(x-x2)=(x＋x2)-4xx2，
3．如图3－271，连ED，则
又因为DE是△ABC两边中点连线，所以
故选C．
4．由条件得
第2页
三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有p=2或a+b＋c＝0． 当p=2时，y=2x＋2，则直线通过第一、二、三象限．
线通过第二、三、四象限．
综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．故选B．，
y=-x-1，则直
如图3－272．
的可以区间，
+1，3×8＋2，3×8＋3，??3×8＋8，共8个，9×8=72(个)．故选C．
6．如图3－273，过A作AG⊥BD于G．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以PE＋PF=AG．因为AD=12，AB=5，所以BD=13，所
第3页
7．如图3-274，直线y=-2x+3与抛物线y=x的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)．作AA，111
BB分别垂直于x轴，垂足为A，B，所以
2
1
8．如图3－275，当圆环为3个时，链长为
当圆环为50个时，链长为
9．因为a≠0，解得
故a可取1，3或5．
10．如图3－276，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A，
AC=|10-x|，BC=|10-2x|，
1
1
1
第4页
所以
11．解法1如图3－277，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．因为
∠ABE＋∠AEB=90°， ∠CED＋∠AEB=90°，
所以 ∠ABE=∠CED． 于是Rt△ABE∽Rt△CED，所以
又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，所以
所以
解法2 如图3－278，作FH⊥CE于H，设FH=h．因为
∠ABE＋∠AEB＝90°， ∠FEH+∠AEB=90°，
所以 ∠ABE=∠FEH，
于是Rt△EHF∽Rt△BAE．因为
第5页
全国初中数学竞赛 - 1998~2012 - 试题集锦（附解答）
