二、
多元线性回归模型
欧阳光明（2024.03.07）
在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。
（一）多元线性回归模型的建立
假设某一因变量y受k个自变量x1,x2,...,xk的影响，其n组观测值为（ya,x1a,x2a,...,xka），a?1,2,...,n。那么，多元线性回归模型的结构形式为：
ya??0??1x1a??2x2a?...??kxka??a（3.2.11）
式中：
?0,?1,...,?k为待定参数； ?a为随机变量。
如果b0,b1,...,bk分别为?0,?1,?2...,?k的拟合值，则回归方程为
?=b0?b1x1?b2x2?...?bkxk（3.2.12）
式中：
b0为常数；
b1,b2,...,bk称为偏回归系数。
偏回归系数bi（i?1,2,...,k）的意义是，当其他自变量xj（j?i）都固定时，自变量xi每变化一个单位而使因变量y平均改变的数值。
根据最小二乘法原理，?i（i?0,1,2,...,k）的估计值bi（i?0,1,2,...,k）应该使
n???Q???ya?ya????ya??b0?b1x1a?b2x2a?...?bkxka???min（3.2.13）
n22a?1??a?1有求极值的必要条件得
???Qn???2????y?y???baa??00a?1????Qn???（3.2.14）???2??b??ya?ya?xja?0(j?1,2,...,k)ja?1??将方程组（3.2.14）式展开整理后得：
?nnnn?nb0?(?x1a)b1?(?x2a)b2?...?(?xka)bk??ya?a?1a?1a?1a?nnnn?1n?(??x1a)b0?(?x21a)b1?(?1?x1ax2a)b2?...?(a?1?x1axka)bk?a?1?x1ayaa?1aa?1?nnnnn?(x)b?(xx)b?(x2)b?...?(??2a0a?1?1a2a1?x2axka)bk??x2ayaa?1?2a2a?1a?1a?1??nnn...nn??(?x)b?(x1axka)b1?(x2axka)b2?...?(x2ka0a?1???ka)bk??xkayaa?1a?1a?1a?1方程组（3.2.15）式，被称为正规方程组。 如果引入一下向量和矩阵：
则正规方程组（3.2.15）式可以进一步写成矩阵形式
Ab?B（3.2.15’）
求解（3.2.15’）式可得：
b?A?1B?(XTX)?1XTY（3.2.16）
如果引入记号：
则正规方程组也可以写成：
3.2.15） （?L11b1?L12b2?...?L1kbk?L1y?Lb?Lb?...?Lb?L2112222kk2y??............??Lb?Lb?...?Lb?Lk22kkkky?k11??b0?y?b1x1?b2x2?...?bkxk（二）多元线性回归模型的显著性检验
（3.2.15’’）
与一元线性回归模型一样，当多元线性回归模型建立以后，也需要进行显著性检验。与前面的一元线性回归分析一样，因变量y的观测值y1,y2,...,yn之间的波动或差异，是由两个因素引起的，一是由于自变量x1,x2,...,xk的取之不同，另一是受其他随机因素的影响而引起的。为了从y的离差平方和中把它们区分开来，就需要对回归模型进行方差分析，也就是将y的离差平方和ST或（Lyy）分解成两个部分，即回归平方和U与剩余平方和Q：
在多元线性回归分析中，回归平方和表示的是所有k个自变量对y的变差的总影响，它可以按公式 计算，而剩余平方和为
以上几个公式与一元线性回归分析中的有关公式完全相似。它们所代表的意义也相似，即回归平方和越大，则剩余平方和Q就越小，回归模型的效果就越好。不过，在多元线性回归分析中，各平方和的自由度略有不同，回归平方和U的自由度等于自变量的个数k，而剩余平方和的自由度等于n?k?1，所以F统计量为： 当统计量F计算出来之后，就可以查F分布表对模型进行显著性检验。
2024年多元线性回归模型公式
