21．（本小题满分12分）
x2y2??1有相同的焦点，直线y?3x为C的一条渐近线。 双曲线C与椭圆84（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当
uuuruuuruuur8PQ??1QA??2QB，且?1??2??时，求Q点的坐标。
3
x2y2解：（Ⅰ）设双曲线方程为2?2?1
abx2y2??1 由椭圆84求得两焦点为(?2,0),(2,0)，
?对于双曲线C:c?2，又y?3x为双曲线C的一条渐近线 ?b?3 解得 a2?1,b2?3， a2y2?双曲线C的方程为x??1
3（Ⅱ）解法一：
由题意知直线l的斜率k存在且不等于零。 设l的方程：y?kx?4,A(x1,y1)，B(x2,y2)
4,0) kuuuruuurQPQ??1QA
则Q(?44?(?,?4)??1(x1?,y1)
kk44?x???41?4?k?1k????1(x1?)???k? k???y??4??4??1y11??1?QA(x1,y1)在双曲线C上， ?161??1216()??1?0 k2?1?1
162k?k2?2?0. 316?(16?k2)?12?32?1?16?k2?0.
316222同理有：(16?k)?2?32?2?16?k?0.
3?16?32?1?16?12?2若16?k?0,则直线l过顶点，不合题意.?16?k?0,
2??1,?2是二次方程(16?k2)x2?32x?16?162k?0.的两根. 3??1??2?328 ??2k?163?k2?4，
此时??0,?k??2.
?所求Q的坐标为(?2,0).
解法二：
由题意知直线l的斜率k存在且不等于零
设l的方程，y?kx?4,A(x1,y1),B(x2,y2)，则Q(?uuuruuurQPQ??1QA，
uuur?Q分PA的比为?1.
由定比分点坐标公式得
4,0). k4?4?1x1???x??(1??1)?k1???1k?1??1? ??4?0?4??1y1?y1?????11??1??下同解法一 解法三：
由题意知直线l的斜率k存在且不等于零
设l的方程：y?kx?4,A(x1,y1),B(x2,y2)，则Q(?uuuruuuruuurQPQ??1QA??2QB，
444?(?,?4)??1(x1?,y1)??2(x2?,y2).
kkk??4??1y1??2y2，
4,0). k??1??44，?2??， y1y2又?81??2??3， ?1y?12y? 123即3(y1?y2)?2y1y2
将y?kx?4代入x2?y23?1得 (3?k2)y2?24y?48?3k2?0
Q3?k2?0，否则l与渐近线平行。 y?243?k2,y48?3k2?1?y21y2?3?k2。 2448?3k2?3?3?k2?2?3?k2
?k??2
?Q(?2,0)
解法四：
由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设l的方程：则Q(?4,0) QuPQuuvk??uuuv1QA,
?(?4k,?4)??41(x1?k,y1)。
?4??1?k??4 x4kx1?41?k同理
?1??4kx
2?4?1??2??448kx???.
1?4kx2?43即 2k2x1x2?5k(x1?x2)?8?0。
y?kx?4，A(x1,y1),B(x2,y2)
（*）
y?kx?4又
y2x??13222消去y得(3?k)x?8kx?19?0.
当3?k?0时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，3?k?0。 由韦达定理有：
228k3?k2 19x1x2??3?k2x1?x2?代入（*）式得
k2?4,k??2
?所求Q点的坐标为(?2,0)。
22．（本小题满分14分）
2已知a1?2，点(an,an?1)在函数f(x)?x?2x的图象上，其中n?1,2,3,L
（1）证明数列{lg(1?an)}是等比数列；
（2）设Tn?(1?a1)(1?a2)L(1?an)，求Tn及数列{an}的通项；
（3）记bn?
2解：（Ⅰ）由已知an?1?an?2an，
112?1 ?，求数列{bn}的前n项Sn，并证明Sn?3Tn?1anan?2
?an?1?1?(an?1)2
Qa1?2
?an?1?1，两边取对数得
lg(1?an?1)?2lg(1?an)，
即
lg(1?an?1)?2
lg(1?an)?{lg(1?an)}是公比为2的等比数列.
n?1（Ⅱ）由（Ⅰ）知lg(1?an)?2?lg(1?a1) ?2n?1?lg3?lg32
n?1
?1?an?32 （*）
?Tn?(1?a1)(1?a2)…(1+an)
n?1?32?32?32?…?32
?31?2?22012n-1?…+2n-1=3n?12n-1
由（*）式得an?32?1
2（Ⅲ）Qan?1?a0?2an
?an?1?an(an?2) ?
1111?(?) an?12anan?2?112?? an?2anan?1
又bn?11? anan?211?) anan?1?bn?2(?Sn?b1?b2?…+bn
?2(n?111111111????…+?)?2(?) a1a2a2a3anan?1a1an?1nQan?32?1,a1?2,an?1?32?1
?Sn?1?又Tn?32n23?1?12n
?Sn?2?1.
3Tn?1
2006年高考数学试卷(山东卷.理)含详解
