?f(1)?f(3)?2sin2(?3?4??)?2sin2(4??)?2,
f(2)?f(4)?2sin2(?2??)?2sin2(???)?2, ?f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?4.
又y?f(x)的周期为4，2008?4?502，
?f(1)?f(2)?????f(2008)?4?502?2008.
18．（本小题满分12分）设函数f(x)?ax?(a?1)ln(x?1)，其中a??1，求f(x)的单调区间. 解：由已知得函数f(x)的定义域为(?1,??)，且f'(x)?ax?1x?1(a??1), （1）当?1?a?0时，f'(x)?0,函数f(x)在(?1,??)上单调递减， （2）当a?0时，由f'(x)?0,解得x?1a. f'(x)、f(x)随x的变化情况如下表
x (?1,11a) a (1a,??) f'(x) — 0 + f(x) ] 极小值 Z 从上表可知
当x?(?1,1)时，f'(x)?0,函数f(x)在(?1,1aa)上单调递减. 当x?(1,??)时，f'(x)?0,函数f(x)在(1aa,??)上单调递增. 综上所述：
当?1?a?0时，函数f(x)在(?1,??)上单调递减.
当a?0时，函数f(x)在(?1,1)上单调递减，函数f(x)在(1aa,??)上单调递增. 19．（本小题满分12分）
如图，已知平面A1B1C1平行于三棱锥V?ABC的底面ABC，V 等
△AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设
AC?2a,BC?a
A1
C1
B1 A C
B
边
（1）求证直线B1C1是异面直线AB1与A1C1的公垂线； （2）求点A到平面VBC的距离； （3）求二面角A?VB?C的大小。
解法1：
（Ⅰ）证明：∵平面
A1B1C1∥平面ABC，
?B1C1//BC,AC11//AC
QBC?AC
?B1C1?A1C1
又∵平面AB1C⊥平面ABC，平面AB1C∩平面ABC?AC， ∴BC⊥平面AB1C，
?BC?AB1 ?B1C1?AB1，
又QA1C1?B1C1?C1，B1C1?AB1?B1.
?B1C1为AB1与A1C1的公垂线.
（Ⅱ）解法1：过A作AD?B1C于D，
∵△AB1C为正三角形，
∴D为B1C的中点. ∵BC⊥平面AB1C ∴BC?AD， 又B1C?BC?C，
∴AD⊥平面VBC，
∴线段AD的长即为点A到平面VBC的距离. 在正△AB1C中，AD?33?AC??2a?3a. 22∴点A到平面VBC的距离为3a.
解法2：取AC中点O连结B1O，则B1O⊥平面ABC，且B1O=3a. 由（Ⅰ）知BC?B1C，设A到平面VBC的距离为x，
?VB1?ABC?VA?BB1C，
即?1111BC?AC?B1O??BC?B1C?x，解得x?3a. 3232即A到平面VBC的距离为3a.
uuuruuuruuuruuurAB?n则d?||AB1|?cos?AB1,n?|?||AB1|?cos?uuur1?|
|AB1|?|n|?23a?3a. 2所以，A到平面VBC的距离为3a.
(III)过D点作DH?VB于H，连AH，由三重线定理知AH?VB ??AHD是二面角A?VB?C的平面角。 在RtVAHD中，AD?3a?VB1DH?VB1BC?DHB1D?. BCB1B?DH?B1D?BC5?a.
B1B5AD?15。 DH?tan?AHD???AHD?arctan15。
所以，二面角A?VB?C的大小为arctan15. 解法二：
取AC中点O连B1O,易知OB1?底面ABC，过O作直线OE//BC交AB于E。
取O为空间直角坐标系的原点，OE,OC,OB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系。则A(0,?a,0),B(a,a,0),C(0,a,0),B1(0,0,3a)。
uuuruuur（I）QBC?(?a,0,0)，AB1?(0,a,3a)，
uuuruuur?BC?AB1?(?a,0,0)?(0,a,3a)?0， uuuruuur?BC?AB1。
?BC?AB1
又QB1C1//BC,B1C1?AB1
由已知BC?AC,AC//AC11。
?BC?AC11，
而BC//B1C1,?B1C1?A1C1。 又B1C1与AB1,A1C1显然相交，
?B1C1是AB1与A1C1的公垂线。
（II）设平面VBC的一个法向量n?(x,y,z)，
uuur 又CB1?(0,?a,3a)
uuur???n?BC?(x,y,z)g(?a,0,0)?0? 由? uuur?(x,y,z)g(0,?a,3a)?0???n?CB1?取z?1 得 n?(0,3,1),
uuur点A到平面VBC的距离，即AB1在平面VBC的法向量n上的投影的绝对值。 uuurQAB1?(0,a,3a)，设所求距离为d。
uuuvuuuv则d?AB1?cos?AB1?n?
uuuvuuuvAB1?n ?AB1?uuuvAB1?n23?3a 2所以，A到平面VBC的距离为3a.
（III）设平面VAB的一个法向量m?(x1,y1,z1),
uuuruuur m?AB1 m?AB1?0 ay1?3az1?0
由 ? ?
uuuruuur m?AB m?AB?0 ax1?2ay1?0
取z1?1 m?(23,?3,1),
?cos?m,n??m?n1??.
|m|?|n|4Q二面角A?VB?C为锐角，
所以，二面角A?VB?C的大小为arccos.
20．（本小题满分12分）
袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求： （1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）随机变量ξ的概率分布和数学期望； （3）计分介于20分到40分之间的概率。 解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，
3111C5?C2?C2?C22则P(A)? ?3C10314解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”
121C5?C2?C81的事件记为B，则事件A和事件B是互斥事件，因为P(B)? ?3C103所以P(A)?1?P(B)?1?12?. 33（II）由题意?有可能的取值为：2，3，4，5.
2112C2?C2?C2?C21P(??2)??; 3C10302112C4?C2?C4?C22P(??3)??; 3C10152112C6?C2?C6?C23P(??4)??; 3C1010112C82?C2?C8?C28P(??5)??; 3C1015所以随机变量?的概率分布为 ? 2 3 4 5 P 1 302 153 108 15
因此?的数学期望为
E??2?123813?3??4??5?? 3015101532313?? 151030（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，则
P(C)?P(\??3\或\??4\?P(\??3\?P(\??4\?
2006年高考数学试卷(山东卷.理)含详解
