高中数学必修4知识点总结03三角恒等变换
【编者按】变换是数学的重要工具，在初中，接触过大量的\只变其形不变其质”的代 数变换，本章要学习的三角恒等变换也是''只变苴形不变英质”的，可以揭示某些外形不同 但实质相同的三角函数式之间的内在联系，是解决数学问题的重要手段。三角恒等变换的学 习，注重考察学生思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力 和综合分析能力。教材要求：用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其 他的三角恒等变换公式，能运用这些公式进行简单的恒等变换。
1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin（a 土 0） = sinacos0±cosasin 0 ； cos@ 土 0) = cosacos0干sinasin 卩；
远0±0)=竺空型1 + tan cr tan 0
其中两角和与差的正切公式的变形：
tan a-tan0 = tan(Q-0)(1 +tan a(an0) tan a +tan 0 = tan (a+ 0)(1-tana tan 0)
2. 二倍角公式
sin2a = 2sinacosa =＞ 1 ±sin2a = sin2 a + cos2 a±2sinacosa = (sincr±coscr)2
2
?。 。 .0
cos2a = cos~ a-siiT a = 2cos° a-l = l-2sirT a
=＞升幕公式 1 + cosa = 2 cos2 — J — cost? = 2 sin22 2
—
存? 八亠 ? cos 2a +1 . ° 1-cos 2a 二＞ 降幕公式 cos~ a = -------- ,sirr a = -------------- .2 2
tan a 2a = --------- 2 tan a 1-tanker
—
附注：在学习上述公式时应注意以下几点:
（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉; （2）善于拆角、拼角
如 Q = (a+0)-0,2a = (a + 0)+(G-0),2G+0 =(G+0)+Q^
（4）要时时注意角的范|卞］ 3. 三角函数式的化简
（1） 常用方法：①直接应用公式进行降次、消项：②切割化弦，异名化同划，异角化
同角：③三角公式的逆用等。
（2） 化简要求：①能求岀值的应求出值：②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少：
④尽量使分母不含三角函数：⑤尽量使被开方数不含三角函数。
（1） 降幕公式
. 1 . ， 1-cos2a ■> 1 + cos2a
sin a cos a = — sin 2a, sin- a = ------------- ,cos~ a = ------------- ；
2 2 2 （2） 辅助角公式
asinx + bcosx = yja2 +b2 -sin（x4-^）
其中 sin （p = /
, cos （p = \4 5
4 三角函数的求值类型有三类
（1） 给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利 用
三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题：
（2） 给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的 关
键在于“变角”，如a二（a + 0）-0,2a = （a+0）+（a-0）等，把所求角用含已知角的 式子表示，求解时要注意角的范羽的讨论：
（3） 给值求角：实质上转化为\给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求 角
的范用及函数的单调性求得角。
5 三角等式的证明
（1） 三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为
简、左右同一等方法，使等式两端化\异”为\同”，即利用三角公式进行化名，化角，改 变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2） 三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用
6. 解答三角恒等变换髙考题的策略
（1） 发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2） （3）
寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
7. 变为主线、抓好训练
变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的 变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是.在训练中，强化变意识是关键，但题目不可 太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行 归类，并进行分析比较，寻找解题规律。
8. 三角恒等变换相关的拓展知识
（1）半角公式与万能公式:
万能公式:
sin a = 2 ; cos a =
a
2tan —
1 — tan2 — 2 1 + W —
2
1 + tarr —
2
积化和差公式：
sin a - cosp = + [sin (a + 0)+ sin(a —/?)] 1 厂.
cos a sin 0 = — sin(a + /?) —sin(a —Q) cos a ? cos P = ~ [cos ( a + 0) + cos (a - /?)] sin a - sin /7 = — — [cos (a + 0) — cos (a - 0 )
2L J
-1
代入法、消参法或分析法进行证明。
（3）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性,
和差化积公式： ?
? 々 c? a +卩 cc — p
sin a+sin 0 = 2 sin -------------- --- cos ----------
2 2
? ?々c a + Q . ct —卩 sin a — sin 0 = 2 cos --------------- sin ------------
2 2
门 c a + Q a — B
cos a+ cos 卩=2 cos --------------- cos -----------
\cos a — cos p — —2 sin
° 十\
2 2
sin —__—
(2)三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设 条件，灵
活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: 1)角的变换:在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与 角之间的和差，倍
半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差
异，使问题获解，对角的变形如：
22負数名魏轍:三角变形中，常常需要变函数冬称为同名函数。如在三角函数中正余弦 是基础，
通常化切为弦，变异划为同夕z
3、)…赏数代換:在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如 常
数“L的代换变形有：
1 =sin3 4 5 6 a + cos' a = tan a cot a = sin 90\
42摄的变換:降幕是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幕处理 的方
法。
占 a a I cos— = cos— 丄丄* 9
公武变羽:三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
(3) 常用的三角恒等式 sin 3a = 3 sin a-4sin5 a cos 3a =4cos\
sin2 a-sin2 0 = sin(a + 0)sin(a-0) = cos2 0-cos' a cos a cos 2a cos 4a...cos 2 a =——: ---------
4n+l sin a
a a a sin a cos—cos— - cos——=
6 8 2n
c
t
创 sin 2\
高中数学必修4知识点总结03三角恒等变换
