北京邮电大学2012——2013学年第1学期
《概率论与随机过程试题》期末考试试题答案
考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的
班号和选课单上的学号，班内序号!
一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分）
1.设A是定义在非空集合?上的集代数,则下面正确的是 .A （A）若A?A,B?A,则A?B?A; （B）若A?A,B?A,则B?A; （C）若An?A,n?1,2,?,则
?n?1An?A;
? （D）若An?A,n?1,2,?,且A1?A2?A3?,则
n?1An?A.
2. 设??,F?为一可测空间，P为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c
（A）若A?F,B?F,则P(A?B)?P(A)?P(B)； （B）若An?F,n?1,2,?,,且A1?A2?A3?，则P(?n?1An)?limP(An)；
n??（C）若A?F,B?F,C?F,，则P(ABC)?P(A)?P(AB)?P(ABC)； （D）若An?F,n?1,2,?,,且AiAj??,?i??j，P(?n?1An)??P(An).
n?1?3.设f为从概率空间??,F,P?到Borel可测空间?R,B?上的实可测函数，表达式为f(?)??kIAk，其中AiAj??,?i??j,k?0100100n?0An??，则??fdP? ；
1
若已知P(Ak)?100100!1，则??f2dP? . 100k!(100?k)!22?kP(A),25?50kk?0?2525
4. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度
?2,0?x?1,0?y?x, f(x,y)??0,其他，?则E[E[X|Y]]= .2/3
5. 设随机过程{X(t)?Xcos?t,???t???}，其中随机变量X服从参数为
1的指数分布，??(0,?/2)为常数，则（1）X(1)的概率密度f(x;1)? ；
?（2）E(?2X(t)dt)? .
0x?1?cos?1e?,x?0,?E(?2X(t)dt)? f(x;1)??cos?0??0,其他，?16. 设{W(t),t?0}是参数为?2(??0)的维纳过程，令X(t)?W()，则相关
t函数RX(1,2)??22 .
7. 设齐次马氏链的状态空间为E?{1,2,3},一步转移概率为
?0.50.50???P??0.50.50?
?0.20.30.5???则（1）limpn??(n)11(n)? . 1/2,2 ? ；（2）?p33n?0?二. 概率题（共30分）
1.(10分) 设(X,Y)的概率密度为
2
f(x,y)?12??e2?22x1?x22?2,
令U?X2?Y2,V?Y, （1）求(U,V)的概率密度g(u,v)；（2）求U的边缘概率密度gU(u).
?u?x2?y2,??x??u2?v2,解解.（1） 解方程?得?|v|?u,
y?v,??v?y,?所以雅可比行列式J??u2u2?v20u, 2u2?v2??222u?v1v故
u??1u2?2e,|v|?u,?222g(u,v)?f(x,y)|J|??2?? u?v?0,其他.? ……5分
（2）对u?0，
gU(u)??g(u,v)dv?????u?u12??1e2?u2?2uu?v22dv
u ?u2??e2?u2?2?u?uu?v
22dv?u2?e2?2?2,
u?u?2?2,u?0,?2e故gU(u)??2?
?0,其他.? ……10分
2.（10分）设(U,V)的概率密度
?e?u,u?v?0,v?0,g(u,v)??
其他，?0,?1,??{V?1}，（1）求E(I{V?1}|U?10)，其中I{V?1}(?)??（2）D(V|U).
其他，?0,
3
(完整版)2012-2013《概率论与随机过程试题》期末考试试题答案
