2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第二章 2.2 函数的单调性 (含解析)

§2.2 函数的单调性

1．函数的单调性 (1)单调函数的定义

增函数 减函数 一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 定义 当x1f (x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的

(2)单调区间的定义

自左向右看图象是下降的 如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间． 2．函数的最值

前提 条件 (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M 结论

M为最大值 (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M M为最小值 设函数y＝f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (1)对于任意的x∈I，都有f (x)≤M； (1)对于任意的x∈I，都有f (x)≥M； 概念方法微思考

1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？ 提示 对?x1，x2∈D，x1≠x2，

f ?x1?－f ?x2?

>0?f (x)在D上是增函数；对?x1，x2∈D，x1≠x2，

x1－x2

(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0?f (x)在D上是增函数．减函数类似． a

2．写出函数y＝x＋(a>0)的增区间．

x提示 (－∞，－a]和[a，＋∞)．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若定义在R上的函数f (x)，有f (－1)

(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )

x

(4)所有的单调函数都有最大值和最小值．( × )

题组二 教材改编

2.如图是函数y＝f (x)，x∈[－4,3]的图象，则下列说法正确的是( )

A．f (x)在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数 B．f (x)在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2 C．f (x)在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3 D．当直线y＝t与f (x)的图象有三个交点时－1

2

3．函数y＝在[2,3]上的最大值是______．

x－1答案 2

4．若函数f (x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________． 答案 (－∞，2]

解析 由题意知，[2，＋∞)?[m，＋∞)，∴m≤2.

题组三 易错自纠

log12(－2x2＋x)的单调增区间是________；f (x)的值域是________． 5．函数f (x)＝

11?答案 ??4，2? [3，＋∞)

6．函数y＝f (x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a＋1)

答案 [－1,1)

－2≤a＋1≤2，??

解析 由条件知?－2≤2a≤2，

??a＋1>2a，解得－1≤a<1.

x2＋1??，x≥1，

7．设函数f (x)＝?x是单调函数．则a的取值范围是________；若f (x)的值域

??ax，x<1是R，则a＝________. 答案 (0,2] 2

x2＋111

解析 当x≥1时，f (x)＝＝x＋，则f′(x)＝1－2≥0恒成立，

xxx∴f (x)在[1，＋∞)上单调递增，∴f (x)min＝f(1)＝2， 当x<1时，f (x)＝ax， 由于f (x)是单调函数，

∴f (x)＝ax在(－∞，1)上也单调递增，且ax≤2恒成立，

??a>0，

∴? ?a≤2，?

故a的取值范围为(0,2]， ∵当x≥1时，f (x)≥2，

由f (x)的值域是R，可得当x＝1时，ax＝2， 故a＝2.