注册电气公共基础第11讲高等数学(十一)(2010新版)

第三节 积分学

一、不定积分与定积分

（一）不定积分、定积分的概念与性质 1 ．不定积分的概念与性质 若在区间 I 内， F ' ( x 函数 f ( x

）= f ( x )

，则称函数 F ( x) F ( x ) + C

为函数 f ( x)

在区间 I 内的原函数，而

）的带有任意常数项的原函数 称为函数 f （x）在区间 I 内的不定积分，记作

∫f(x)dx ，即

不定积分具有如下性质：

2 ．定积分的概念与性质 设函数 f ( x

）在[ a ，b] 上有界，将 [ a , b ]

任意划分成， n 个小区间

总存在（即极限不依赖于对 [a,b] 的分法与 上述极限为， f （x）在[a,b] 上的定积分，记作

i

的取法），则称函数 f ( x ）在［ a ，b］上可积，并称

a

f (x)dx, 即

b

对定积分还有两点补充规定：

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a

在［ a ，b］f （x）≥ 0 时，定积分

b

f (x)dx在几何上表示由曲线y=f （x）、两条直线x = a 、 x = b

与

二定轴积所分围具成有的如曲： 边梯积。

（二）积分法 1 ．基本积分表

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2 ．换元积分法 对不定积分，有 第一类换元法：

第二类换元法：

其中

1(x) 是 x (t) 的反函数，且

'

(t) 0。

对定积分，有

其中 ( ) a, ( ) b 。 当被积函数含有

2

2

2

2

2

2

a x 、x a 、x a 时，可采用第二类换元法，依次令

x aa sin t、x a tan t、x a sect ，可消去被积函数中的根号。

3 ．分部积分法

分部积分法适用于被积函数是两类不同函数的乘积的情形。选取

u 和 v 的一般原则是：

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