6-1 最优性条件
现考虑一般形式的非线性规划数学模型：
假设
、
和
均具有一阶连续偏导数，
，
是非线性规划的一
个可行解。现考虑某一不等式约束（1）
，此时
满足该不等式有两种可能：
不在由该约束形成的可行域边界上，因此该约束对
，此
的微小变动不起限制作用，从而称该约束为无效约束；（2）
时处在由该约束形成的可行域边界上，因此该约束对的微小变动会起某种限制作用，从而称该约束为有效约束。显而易见，所有等式约束都是有效约束。
是非线性规划的一个可行解，对于此点的某一方向
使任意 0均有
代表非线性规划的可行域。
若
是
，就称方向
是
，若存在实数 0
点的一个可行方向，此处
均有：
点的任一可行方向，则对该点所有有效约束
，
（6-18）
其中代表在点所有有效约束下标的集合，如图6-14所示。
图6-14
另一方面，由泰勒展开式
（）
可知对所有有效约束，当就有
，
此外，对
时，上式依然成立。从而，只要方向可行方向。
非线性规划的某一可行点任意
0均有
在
将目标函数20）
足够小点的使
满足式（6-19），即可保证
是
足够小时，只要
，
（6-19）
点所有的无效约束来讲，由于约束函数的连续性，当
，对该点的任一方向来说，若存在实数0
，就称方向
是
满足
点的一个下降方向。
处作一阶泰勒展开，若方向
（6-
则必是点的一个下降方向。
如果方向既是点的一个可行方向又是一个下降方向，就称是点的一个可行下降方向。显然，如果某点存在可行下降方向，那么该点就不会是极小点；另一方面，如果某点是极小点，则该点不存在可行下降方向。 [定理3] 设微，而且
是非线性规划的一个局部极小点，目标函数
在在
（此处代表在不存在向量- ，
事实上，若在
（6-21） 点存在向量
满足式（6-21），则从
点出发沿方向
搜
点是一个局部极小点的假设相矛盾；所以这个
点处满足该条件的方向
与
同时满足
处可微，当处连续，当
时 时
点不存在可行下降方向，从而
在
处可
处有效约束的下标集合）则在
索可找到比点更好的点，这与定理是显然成立的。
式（6-21）的几何意义是十分明显的，即点目标函数负梯度方向的夹角为锐角，与锐角。
假设
点所有有效约束梯度方向的夹角也为
是非线性规划的极小点，该点可能处于可行域的内部，也可能处于可
必满足
；若为后者，情况就复杂多了，接下来我们就对这一复杂情况进行分
行域的边缘上。若为前者，该规划问题实质是一个无约束极值问题，析。
不失一般性，设是
点处的有效约束，
位于第一个约束所形成的可行域的边缘上，即第一个约束
。若
是极小点，则和
必与
在
同一直线上，且方向相反（这里假定条件的极小点，角度 表示非极小点
皆不为“0”）；否则，在
点是满足上述
与，使
点处就一定存在可行下降方向，如图6-15所示。图6-15中的
处的可行下降方向的范围。既然
在同一直线上，且方向相反，则必存在一个实数
。
若情况下，
点处在两个有效约束边缘上，比如说
必处于
和
和
。在这种点必存在
的夹角之内；如若不然，
可行下降方向，这与图6-15
是极小点的相矛盾，如图6-16所示。
图6-16
由此可见，如果
是极小点，而且
表示成为
和
，使：
如此类推，可以得到：
（6-22）
为使所有无效约束也同上述有效约束一样包含在式（6-22）中，增加约束条件，当时；当时。如此即
可得到式（6-23）所示的库恩-塔克条件（Kuhn-Tucker，简称K-T条件，满足这一条件的点称为K-T点）。设的极小点，而且
是非线性规划
点各有效约束的梯度线性独立，则存在向量
点的有效约束的梯度
和
和
线性独立，则可以将
合；也就是说，存在实数
的非负线性组
，使下述条件成立：
，
（6-23）
，
由于等式约束总是有效约束，所以一般形式的非线性规划的库恩-塔克条件可表达为：设
是非线性规划
的极小点，而且
点的所有有效约束的梯度
和
和，
线性独立，则存在向量
使下述条件成立：
，
，
式（6-24）中的
和
（6-24）
称为广义拉格朗日乘子（Lagrange Multipliers）。
库恩-塔克条件是非线性规划领域中最重要的理论成果之一，是确定某点为极值点的必要条件；但一般来讲它并不是充分条件，因此满足这一条件的点并非一定就是极值点。对于凸规划，库恩-塔克条件是极值点存在的充分必要条件。
库恩塔克定理
