【点睛】
此题主要考查了菱形的性质,勾股定理,关键是要熟记定理的内容并会应用 . 17.1 【解析】 【分析】 【详解】
∵骑车的学生所占的百分比是
126×100%=35%, 360∴步行的学生所占的百分比是1﹣10%﹣15%﹣35%=40%,
∴若该校共有学生1500人,则据此估计步行的有1500×40%=1(人), 故答案为1. 18.1 【解析】 【分析】
先由DE∥BC,可证得△ADE∽△ABC,进而可根据相似三角形得到的比例线段求得BC的长. 【详解】 解:∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴DE:BC=AD:AB, ∵AD=2,DB=4, ∴AB=AD+BD=6, ∴1:BC=2:6, ∴BC=1, 故答案为:1. 【点睛】
考查了相似三角形的性质和判定,关键是求出相似后得出比例式,在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19.(1)y=0). 【解析】 【分析】
233223x﹣x,点D的坐标为(2,﹣);(2)t=2;(3)M点的坐标为(2,0)或(6,
336(1)利用待定系数法求抛物线解析式;利用配方法把一般式化为顶点式得到点D的坐标;
(2)连接AC,如图①,先计算出AB=4,则判断平行四边形OCBA为菱形,再证明△AOC和△ACB都是等边三角形,接着证明△OCM≌△ACN得到CM=CN,∠OCM=∠ACN,则判断△CMN为等边三角形得到MN=CM,于是△AMN的周长=OA+CM,由于CM⊥OA时,CM的值最小,△AMN的周长最小,从而得到t的值;
∠COD=90°0)(3)先利用勾股定理的逆定理证明△OCD为直角三角形,,设M(t,,则E(t,3223t-t),
63根据相似三角形的判定方法,当
AMME322343?t-t |:时,△AME∽△COD,即|t-4|:4=|,OCOD633当
AMME433223?=|t-t |:4,然后分别解绝对值方程可得到时,△AME∽△DOC,即|t-4|:ODOC363对应的M点的坐标. 【详解】
解:(1)把A(4,0)和B(6,23)代入y=ax2+bx得
?3a????16a?4b=0?6,解得?, ?36a?6b=23???b??23?3?∴抛物线解析式为y=3223x-x;
63∵y=3223323x-x =; (x-2) 2-636323); 3∴点D的坐标为(2,-(2)连接AC,如图①,
AB=?4?6?2?(23)2=4,
而OA=4,
∴平行四边形OCBA为菱形, ∴OC=BC=4, ∴C(2,23), ∴AC=?2?4?2?(23)2=4,
∴OC=OA=AC=AB=BC,
∴△AOC和△ACB都是等边三角形, ∴∠AOC=∠COB=∠OCA=60°, 而OC=AC,OM=AN, ∴△OCM≌△ACN,
∴CM=CN,∠OCM=∠ACN, ∵∠OCM+∠ACM=60°, ∴∠ACN+∠ACM=60°, ∴△CMN为等边三角形, ∴MN=CM,
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=OM+AM+MN=OA+CM=4+CM, 当CM⊥OA时,CM的值最小,△AMN的周长最小,此时OM=2, ∴t=2;
(3)∵C(2,23),D(2,-23), 3∴CD=83, 3∵OD=22+(23243,OC=4,
)?33∴OD2+OC2=CD2,
∴△OCD为直角三角形,∠COD=90°, 设M(t,0),则E(t,∵∠AME=∠COD, ∴当
3223t-t),
63AMME322343?t-t |:时,△AME∽△COD,即|t-4|:4=|, OCOD633整理得|
1221t-t|=|t-4|, 6331221t-t =(t-4)得t1=4(舍去),t2=2,此时M点坐标为(2,0); 633121解方程t2-t =-(t-4)得t1=4(舍去),t2=-2(舍去);
363解方程当
12AMME433223?=|t-t |:4,整理得|t2-t |=|t-4|, 时,△AME∽△DOC,即|t-4|:ODOC63363122t-t =t-4得t1=4(舍去),t2=6,此时M点坐标为(6,0); 6312解方程t2-t =-(t-4)得t1=4(舍去),t2=-6(舍去);
63解方程
综上所述,M点的坐标为(2,0)或(6,0). 【点睛】
本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、平行四边形的性质和菱形的判定与性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质;熟练掌握相似三角形的判定方法;会运用分类讨论的思想解决数学问题. 20.(1)y=﹣
(x+3)(x﹣1)=﹣
x2﹣2
x+3
;(2)(﹣4,﹣
)和(﹣6,﹣3
)(3)(1,﹣
4).
【解析】
试题分析:(1)根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标,求出直线的解析式,求出点D的坐标,求出n)抛物线的解析式;(2)作PH⊥x轴于H,设点P的坐标为(m,,分△BPA∽△ABC和△PBA∽△ABC,根据相似三角形的性质计算即可;(3)作DM∥x轴交抛物线于M,作DN⊥x轴于N,作EF⊥DM于F,根据正切的定义求出Q的运动时间t=BE+EF时,t最小即可. 试题解析:(1)∵y=a(x+3)(x﹣1),
∴点A的坐标为(﹣3,0)、点B两的坐标为(1,0), ∵直线y=﹣∴b=﹣3∴y=﹣
, x﹣3
, ,
),
x+b经过点A,
当x=2时,y=﹣5
则点D的坐标为(2,﹣5∵点D在抛物线上, ∴a(2+3)(2﹣1)=﹣5解得,a=﹣
,
,
则抛物线的解析式为y=﹣(2)作PH⊥x轴于H, 设点P的坐标为(m,n),
(x+3)(x﹣1)=﹣x2﹣2x+3;
当△BPA∽△ABC时,∠BAC=∠PBA,
∴tan∠BAC=tan∠PBA,即=,
∴
=
,即n=﹣a(m﹣1),
∴,
解得,m1=﹣4,m2=1(不合题意,舍去), 当m=﹣4时,n=5a, ∵△BPA∽△ABC, ∴=
,即AB2=AC?PB,
∴42=?
,
解得,a1=(不合题意,舍去),a2=﹣,
则n=5a=﹣
,
∴点P的坐标为(﹣4,﹣
);
当△PBA∽△ABC时,∠CBA=∠PBA, ∴tan∠CBA=tan∠PBA,即=
,
∴
=
,即n=﹣3a(m﹣1),
∴,
解得,m1=﹣6,m2=1(不合题意,舍去), 当m=﹣6时,n=21a, ∵△PBA∽△ABC, ∴=
,即AB2=BC?PB,
∴42=?
,
解得,a1=
(不合题意,舍去),a2=﹣
,
则点P的坐标为(﹣6,﹣
),
综上所述,符合条件的点P的坐标为(﹣4,﹣)和(﹣6,﹣);
【附5套中考模拟试卷】辽宁省营口市2019-2020学年第二次中考模拟考试数学试卷含解析
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