关于圆锥曲线的光学模型及应用一、圆锥曲线的光学性质1．1椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．1．2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．1．3抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．BD?F1
AF2??F1
?F2
?O图1.1图1.2图1.3要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。1二、问题转化及证明2．1圆锥曲线的切线与法线的定义设直线l与曲线c交于P，Q两点，当直线l连续变动时，P，Q两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P，Q重合为一点M,此时直线l称为曲线c在点M处的切线，过M与直线l垂直的直线称为曲线c在点M处的法线。此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化：2.2圆锥曲线光学性质的证明预备定理x0xy0yx2y2??11.若点P(x0,y0)是椭圆2上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：2?2?1。2abay2x2
证明：由b2?1?a
2y2?b2(1?x
2
?
a2)……①1°当x??a时，过点P的切线斜率k一定存在，且k?y'|x?x0
∴对①式求导：2yy'??2b2a2x02
∴k
?y'|??bxx?xa2y0?b2x∴切线方程为y?y0??00
(x?x0)0
a2y…………②0)x2y2∵点P(x0,y0在椭圆a2?b2?1上，故xa0222?yb0x0xy0y2?1代入②得a2?b2?1…………③而当x??a时，y0?0
切线方程为x??a，也满足③式故x0xya2?b0y
2?1是椭圆过点P(x0,y0)的切线方程.预备定理2.若点P(x0,y0)是双曲线x2y2
a2?b2?1上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：xa0xy2?b0y
2?12b2
y2x222x
证明：由2?2?1?y?b(2?1)……①baa1°当x??a时，过点P的切线斜率k一定存在，且k?y'|x?x0
2
2bx02bk?y'|?x?x0∴对①式求导：2yy'?2x0∴a2y0ab2x0(x?x0)…………②∴切线方程为y?y0??2ay0x2y2
∵点P(x0,y0)在双曲线2?2?1上，ab22x0xy0yx0y0?2?1…………③故2?2?1代入②得2abab而当x??a时，y0?0
切线方程为x??a，也满足③式x0xy0y
故2?2?1是双曲线过点P(x0,y0)的切线方程.ab预备定理3.若点P(x0,y0)是抛物线y
2
?2px上任一点，则抛物线过该点的切线方程是y0y?p(x?x0)
证明：由y?2px，对x求导得：2yy'?2p?k?y'|x?x0?
2
p
y0
当y0?0时，切线方程为y?y?即y0y?y0?px?px0
2
p
(x?x0)y0
而y0?2px0?y0y?p(x?x0)………………①而当y0?0,x0?0时，切线方程为x0?0也满足①式故抛物线在该点的切线方程是2
y0y?p(x?x0).3定理1.椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分（图2.1）x2y2
已知：如图，椭圆C的方程为2?2?1，F1,F2分别是其左、右焦点，l是过椭圆上一点P(x0,y0)的切线，l'为ab垂直于l且过点P的椭圆的法线，交x轴于D设?F2PD??,?F1PD??，求证：???.x2：在C:a?y2
证法一2b2?1上，P(x0,y0)?C，则过点P的切线方程为：x0xa2?y0y
b2?1l'是通过点P且与切线l垂直的法线，y0则l':(
b2)x?(x0a2)?x0y0(11b2?a2)∴法线l'与x轴交于D((c
)2
ax0,0)
|Fc2c2
∴1D|?a2x0?c,|F2D|?c?a2x0
∴|F|1D|a2?cx0F?2D|a2?cx0
又由焦半径公式得：|PF1|?a?ex0,|PF2|?a?ex0∴|F|1D||PFF?
|1|
2D|PF2|∴PD是?F1PF2的平分线∴???∵?????90??????，故可得?????????yF1
DOFxF2L图2.1L’4?b2x0y0y0
证法二：由证法一得切线l的斜率k?y'|x?x0?2，而PF1的斜率k1?，PF2的斜率k2?
ay0x0?cx0?c∴l到PF1所成的角?'满足y0b2x0?2x0?cay0a2y02?b2x02?b2cx0k1?k
tan?'???22b2x0y01?kk1(a?b)x0y0?a2cy0
1?
(x0?c)a2y0x2y2
∵P(x0,y0)在椭圆C:2?2?1上abb2
∴tan?'?
cy0
k?k2b2
同理，PF2到l所成的角?'满足tan???
1?kk2cy0
∴tan?'?tan?'而?',?'?(0,∴?'??'
证法三：如图，作点F3，使点F3与F2关于切线l对称，连结F1，F3交椭圆C于点P'下面只需证明点P与P'重合即可一方面，点P是切线l与椭圆C的唯一交点，则|PF1|?|PF2|?2a，是l上的点到两焦点距离之和的最小值（这是因为l上的其它点均在椭圆外）另一方面，在直线l上任取另一点P''
∵|P'F1|?|P'F2|?|P'F1|?|P'F3|?|F1F3|?|P''F1|?|P''F2|
即P'也是直线AB上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而P与P'重合即???而得证?)25
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