第十八届全国中学生物理竞赛复赛试题
全卷共六题，总分为140分
一、（22分）有一放在空气中的玻璃棒，折射率n?1.5，中心轴线长L?45cm，一端是半径为R1?10cm的凸球面．
1．要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴线为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？
2．对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光柬与玻璃棒的主光轴成小角度?1时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度，求?2/?1（此比值等于此玻璃棒望远系统的视角放大率）．
二、(22分)正确使用压力锅的方法是：将己盖好密封锅盖的压力锅(如图复18-2-1)加热，当锅内水沸腾时再加盖压力阀S，此时可以认为锅内只有水的饱和蒸气，空气己全部排除．然后继续加热，直到压力阀被锅内的水蒸气顶起时，锅内即已达到预期温度(即设计时希望达到的温度)，现有一压力锅，在海平面处加热能达到的预期温度为120℃．某人在海拔5000m的高山上使用此压力锅，锅内有足量的水．
1．若不加盖压力阀，锅内水的温度最高可达多少？
2．若按正确方法使用压力锅，锅内水的温度最高可达多少？ 3．若未按正确方法使用压力锅，即盖好密封锅盖一段时间后，在点火前就加上压力阀。此时水温为27℃，那么加热到压力阀刚被顶起时，锅内水的温度是多少？若继续加热，锅内水的温度最高可达多少？假设空气不溶于水． 已知：水的饱和蒸气压pw(t)与温度t的关系图线如图复18-2-2所示．
大气压强p(z)与高度z的关系的简化图线如图复18-2-3所示．
t?27℃时t?27pw(27?)?3.6?103Pa；t?27z?0处p(0)?1.013?105Pa
三、（22分）有两个处于基态的氢原子A、B，A静止，B以速度v0与之发生碰撞．己知：碰撞后二者的速度vA和vB在一条直线上，碰撞过程中部分动能有可能被某一氢原子吸收。从而该原子由基态跃迁到激发态，然后，此原子向低能级态跃迁，并发出光子．如欲碰后发出一个光子，试论证：速度v0至少需要多大（以m/s表示）？己知电子电量为e?1.602?10－19C，质子质量为mp?1.673?10－27kg。电子质量为me?0.911?10－31kg．氢原子的基态能量为
E1??13.58eV．
四、（22分）如图复18-4所示，均匀磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度B随时间t变化，B?B0?kt（k为大于0的常数）．现有两个完全相同的均匀金属圆环相互交叠并固定在图中所示位置，环面处于图中纸面内。圆环的半径为R，电阻为r，相交点的电接触良好．两个环的接触点A与C间的劣弧对圆心O的张角为60?。求t?t0时，每个环所受
的均匀磁场的作用力，不考虑感应电流之间的作用． 五、（25分）如图复18-5所示，一薄壁导体球壳（以下简称为球壳）的球心在O点．球壳通过一细导线与端电压
电池负极接地．在球壳外AU?90V的电池的正极相连，
点有一电量为q1?10?10－9C的点电荷，B点有一电量为
图复 18-4
q2?16?10－9C的点电荷。OA之间的距离d1?20cm，
OB之间的距离d2?40cm．现设想球壳的半径从
a?10cm开始缓慢地增大到50cm，问：在此过程中的不同阶段，大地流向球壳的电量各是多少？己知静电力恒
量k?9?109N?m2?C－2．假设点电荷能穿过球壳壁进入导体球壳内而不与导体壁接触。 六、（27分）一玩具“火箭”由上下两部分和一短而硬（即劲度系数很大）的轻质弹簧构成．上部分G1的质量为m1，下部分G2的质量为m2，弹簧夹在G1与G2之间，与二者接触而不固连．让
G1、G2压紧弹簧，并将它们锁定，此时弹簧的弹性势能为己知的定值E0．通过遥控可解除
锁定，让弹簧恢复至原长并释放其弹性势能，设这—释放过程的时间极短．第一种方案是让玩具位于一枯井的井口处并处于静止状态时解除锁定，从而使上部分G1升空．第二种方案是让玩具在井口处从静止开始自由下落，撞击井底（井足够深）后以原速率反弹，反弹后当玩具垂直向上运动到离井口深度为某值h的时刻解除锁定．
1．在第一种方案中，玩具的上部分G1升空到达的最大高度（从井口算起）为多少？其能量是从何种形式的能量转化来的？
2．在第二种方案中，玩具的上部分G1升空可能达到的最大高度（亦从井口算起）为多少？并定量地讨论其能量可能是从何种形式的能量转化来的．
第十八届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答
一、参考解答
1. 对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图复解18-1-1所示，图中C1为左端球面的球心．
由正弦定理、折射定律和小角度近似得
AF1?R1sinr1r11??1?? （1） R1sin(i1?r1)i1?r1(i1/r1)?1n?1即
AF11?1? （2） R1n?1光线PF1射到另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心C2一定在端面顶点B的左方，C2B等于球面的半径R2，如图复解18-1-1． 仿照上面对左端球面上折射的关系可得 BF11?1? （3） R2n?1又有 BF1?L?AF1 （4） 由（2）、（3）、（4）式并代入数值可得
R2?5cm （5） 即右端为半径等于5cm的向外凸的球面．
2. 设从无限远处物点射入的平行光线用①、②表示，令①过C1，②过A，如图复解18-1-2所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点M，即为左端球面对此无限远物点成的像点．现在求M点的位置。在?AC1M中
R1AMAC?? （6）
sin(???1)sin?1sin(?1??1?)又 nsin?1??sin?1 （7） 已知?1，?1?均为小角度，则有
AM?1
?R11?1(1?)n （8）
与（2）式比较可知，AM?AF1，即M位于过F1垂直于主光轴的平面上．上面已知，玻璃棒为天文望远系统，则凡是过M点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线．容易看出，从M射出C2的光线将沿原方向射出，这也就是过M点的任意光线（包括光线①、②）从玻璃棒射出的平行光线的方向。此方向与主光轴的夹角即为?2，由图复18-1-2可得
?1C1F1AF1?R1?? （9） ?2C2F1BF1?R2由（2）、（3）式可得
AF1?R1BF1?R2则
?R1 R2?2R1??2 （10） ?1R2
二、参考解答
1．已知在海平面处，大气压强p(0)?101.3?103Pa．如图复解18-2-1，在z?5000m处，大气压强为p(5000)?53?103Pa。 （1）
此处水沸腾时的饱和蒸气压pw应等于此值．由图复解18-2-2可知，对应的温度即沸点为
t1?82?C （2）
达到此温度时锅内水开始沸腾，温度不再升高，故在5000ｍ高山上，若不加盖压力锅，锅内温度最高可达82℃．
2．由图复解18-2-2可知，在t?120℃时，水的饱和蒸气压pw(120?)?198?103Pa，而在海平面处，大气压强p(0)?101?103Pa．可见压力阀的附加压强为
pS?pw(120?)?p(0)
?198?103?101.3?103
?96.7?103Pa （3）
2001年第十八届全国中学生物理竞赛复赛试题
