第 3讲几何模型之双子型
模型讲解 【双等边类型】
A
A
D O
O
E
D
F E
B
C
E
B
D
C
C
△BCD≌ △ ACE
【双等腰直角类型】
A
A
D
A
E
O
D
O
E
C
B
C
E
△BCD ≌ △ ACE
【一般情况】
基本条件 :△ABC∽△ EDC，连接 AE、BD 后,有△ AEC∽△ BDC，相似比为AC边与 BC边之比。 可见,上面几种有图形中有全等情况出现，只因图形中有边长相等。
A
△BCE≌ △ DCF B
F
B
D
C
G
△ABD≌ △ ACE
△BOE∽△ COF
B
A
△ ABD∽△ ACE
E
D
B
【例题讲解】
例题1、(直接用双子 )如图，直角坐标系中， 点 A 的坐标为(1 ,0 ),以线段 OA为边在第四象限内作等边△ 点 C为x 正半轴上一动点 (OC＞1),连接 BC，以线段 BC为边在第四象限内作等边△ 于点 E．
(1)△OBC 与△ ABD 全等吗？判断并证明你的结 ；论
(2)着点 C 位置的变化，点 E 的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点
E 的坐标；若有变化，请 明说
AOB ,
CBD ,直线DA 交 y 轴
C
理由．
解： ① 全等．
理由：∵△ AOB 和△ CBD 是等边三角形，
∴OB＝AB，∠ OBA＝∠ OAB＝ 60°， BC＝ BD，∠ CBD ＝60°， ∴∠ OBA＋∠ ABC＝∠ CBD ＋∠ ABC，即∠ OBC＝∠ ABD， 在△ OBC 和△ ABD 中， ∵
，
∴△ OBC≌ △ ABD（SAS）． ② 不变．
理由：∵△ OBC≌ △ ABD， ∴∠ BAD＝∠ BOC＝60°， 又∵∠ OAB＝60°，
∴∠ OAE＝180°∠﹣ OAB﹣∠ BAD＝60°， ∴Rt△OEA 中， AE＝2OA ＝2， ∴OE＝
，
∴点 E 的位置不会发生变化，
E 的坐标为E（0，
）．
例题2、如图,△ ABC 和△ ADE 都是等腰直角三角形 ,∠BAC＝∠ DAE＝90°,AB＝AC＝2，点 D 在直线BC 上运动，连接 OE，则在点 D 运动过程中，段线 OE 的最小值是为（
）
A． 1 2 2
B． 2
C．1
D． 2
解：设Q 是 AB 的中点，连接 DQ ，
y E
A
C
O
x
B
D O为AC 中点，若 A
O
E
B
D
C ∵∠ BAC＝∠ DAE＝90°， ∴∠ BAC﹣∠ DAC＝∠ DAE﹣∠ DAC， 即∠ BAD＝∠ CAE， ∵AB＝AC＝2，O为AC 中点， ∴AQ＝AO，
在△ AQD 和△ AOE 中，
，
∴△ AQD≌ △ AOE（SAS）， ∴QD＝OE，
∵点 D 在直线BC 上运动， ∴当 QD⊥ BC时， QD 最小， ∵△ ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ B＝45°， ∵QD⊥BC，
∴△ QBD 是等腰直角三角形， ∴QD＝ QB， ∵QB＝ AB＝1， ∴QD＝
，
∴线段 OE 的最小值是为． 故选： B．
例题3、如图1，在 Rt△ABC 中，∠ B＝90°, cosC＝
△EDC绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为θ．当 0°≤ θ＜360°,时 的情况给出证明．
5
6
, 点 D、 E 分别是边BC、化？请2图就仅
AC 的中点，连AE BD
接 DE，将
的大小有无变
A
A
E
D
E
B
D C B
C
（图1）
（图2）
当 0°≤ α＜360°，时 的大小没有变化，
∵∠ ECD＝∠ ACB， ∴∠ ECA＝∠ DCB， 又∵
＝
＝
，
∴△ ECA∽△ DCB， ∴
＝
＝
；
【巩固练 】习
1． 如图所示，已知△ ABC 和△ BDE 均为等边三角形，连接 AD、CE，若∠ BAD ＝39°,那么∠ ACE＝_______．E 2.如图,△ABC为等边三角形 ,AB＝2,点 D为BC边上的动点 ,连接 AD,以 AD为一边向右作等边△ ADE ,连接 CE
(1)在点 D 从点 B 运动到点 C 的过程中 ,点 E 运动的路径长为_________;
2)在点 D 的运动过程中 ,是否存在∠ DEC＝ 60°,若存在 ,求出 BD 的长,若不存在 ,请说明理由 .
A
C
B
D
中考培优竞赛专题经典讲义第3讲几何模型之双子型 - 图文
