南京市秦淮中学2024-2024学年度第一学期期末测
试高二数学
2024.01
本试卷共4页，包括单项选择题（第1~8题）、多项选择题（第9~12题）、填空题（第13~16题）、解答题（第17~22题）四部分。本试卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。
2.作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案信息点。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回，本试卷不交，自行留存。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知a,b,c?R，且a?b，则下列不等式成立的是（ ） A.a2?b2
B.a?b
C.a?b?b?c
D.ac?bc
2.已知i为虚数单位，则i??1?i?等于（ ） A.?1?i
B.?1?i
C.1?i
D.1?i
rrrr3.已知向量a??3,2,x?，向量b??2,0,1?，若a?b，则实数x?（ ）
A.3
B.?3
C.6
D. ?6
x2?y2?1的焦点坐标为（ ） 4.在平面直角坐标系xOy中，双曲线4A.?5,0
??B.?3,0
??C.0,?5
??D.0,?3
??5.在等比数列?an?中，a1?4,a4?32，则数列?an?的前10项的和（ ） A.2?2
11
B.2?2
12
C.2?4
11
D.2?4
126.已知正实数x，y满足A.14
B.16
19??1，则x?y的最小值为（ ） xy
D.20
C.18
7.关于x的一元二次不等式8?2x?x2的解集为（ ） A.x?2?x?4 C.x?4?x?2
??
B.xx??2或x?4 D.xx??4或x?2
2??????x2y2?1的左焦点F1，且与8.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y?2px（p?0）的准线过椭圆2?p3p椭圆交于P、Q两点，则?PQF2（F2是椭圆的右焦点）的周长为（ ） A.16
B.162 C.24
D.242 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.等差数列?an?的公差为d，前n项和为Sn，当首项a和d变化时，a3?a8?a13是一个定值，则下列各数也为定值的有（ ） A.a7
B.a8
C.S15
D.S16
10.若实数a?0,b?0,a?b?1，则下列选项的不等式中，正确的有（ ） A.a?b?2
B.a?b?2 C.a2?b2?2
D.
rr11.对于任意非零向量a??x1,y1,z1?,b??x2,y2,z2?，以下说法错误的有（ ）
11??2 abrrA.若a?b，则x1x2?y1y2?z1z2?0
xyzrrB.若aPb，则1?1?1
x2y2z2rrC.cosa,b?x1x2?y1y2?z1z2x?y?z?x?y?z212121222222
D.若x1?y1?z1?1，则a为单位向量
rx2y212.在平面直角坐标系xOy中，椭圆2?2?1（a?b?0）上存在点P，使得PF1?3PF2，其中F1,F2分
ab别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ） A.
1 4 B.
1 2
C.35?6
D.
3 4三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知命题p：?x?R,x?0，则命题p的否定为______.
14.已知数列?an?满足a1?3a2?5a3?L??2n?1?an?4n（n?N?），则an?______.
15.在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?4,AA1?3，则异面直线AC与C1D所成角的余弦值为______.
2x2?y2?1上的一个动点，则PA的最大值与最16.在平面直角坐标系xOy中，点A??1,0?，点P是椭圆4小值的积为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707.4.15~1783.9.18），瑞士数学家、自然科学家.13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位，他是数学史上最多产的数学家.其中之一就是他发现并证明欧拉公式
eiθ?cosθ?isinθ，从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi?1?0，它是数学里令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来：两个超越数：自然对
数的底数e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数单位1；以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”
请你根据欧拉公式：eiθ?cosθ?isinθ，解决以下问题： （1）试将复数e写成a?bi（a,b?R，i是虚数单位）的形式； （2）试求复数eπi3πi31?的模. 218.（本小题满分12分）
已知等比数列?an?的各项都是正数，其前n项的和为Sn，S2?（1）求数列?an?的通项公式；
（2）等差数列?bn?中，b4?a4,b3,b6,b10成等比数列，求数列?bn?前n项的和Tn. 19.（本小题满分12分）
已知关于x的一元二次不等式x??m?3?x?3m?0.
215,a3?5. 4（1）若不等式的解集为??2,3?，求实数m的值；
（2）若不等式的解集中恰有三个整数，求实数m的取值范围. 20.（本小题满分12分）
在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形，PD?底面ABCD，点E是PC的中点.
（1）求证：PAP平面BDE；
（2）若PA?AD?2，求二面角B?DE?C的余弦值. 21.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，抛物线方程为x?2py（p?0），其顶点到焦点的距离为2. （1）求抛物线的方程；
（2）若点P?0,?4?，设直线l：y?kx?t（k?0）与抛物线交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为0，试证明：对于任意非零实数k，直线l必过定点. 22.（本小题满分12分）
2x2y23如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆?：2?2?1（a?b?0）经过点A?2,0?，离心率e?.
2ab
（1）求椭圆?的方程；
（2）设点B为椭圆与y轴正半轴的交点，点C为线段AB的中点，点P是椭圆?上的动点（异于椭圆顶点）且直线PA，PB分别交直线OC于M，N两点，问OM?ON是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
江苏省南京市秦淮中学2024-2024学年度第一学期期末测试高二数学试题(美术班)(无答案)
