柔性多体系统动力学典型数值积分方法的比较研究
郭 晛,章定国
【摘 要】为合理选用积分方法,对柔性多体系统动力学中8种典型的数值积分方法的性能进行了比较研究。以中心刚体-柔性悬臂梁系统为研究对象,运用第二类拉格朗日方程建立系统高次耦合动力学模型。采用8种典型的数值积分方法对方程进行求解,比较了计算效率、数值精度等。结果表明:显式方法较隐式方法更依赖于时间步长的选取;在同等时间步长下,隐式方法的计算效率低于显式方法,隐式方法可以通过放大时间步长提高计算效率;自启动自动变步长且自动变阶的吉尔(Gear)法计算效率高且其更合适于计算广义质量阵为常元素阵的动力学方程;希尔伯特-修斯-泰勒(HHT)法、广义-α法可以通过放大时间步长提高计算效率,但计算精度降低。
【期刊名称】南京理工大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2016(040)006 【总页数】8
【关键词】柔性多体系统;动力学;数值积分;中心刚体-柔性悬臂梁系统;第二类拉格朗日方程;显式方法;隐式方法;时间步长;广义质量阵
柔性多体系统由于其柔性构件的大位移刚性运动与自身弹性变形之间的刚柔耦合作用,使得其动力学方程成为1组高度惯量耦合、强非线性、刚性问题突出的常微分或微分-代数方程组。针对该类动力学方程,高效、精确、稳定的数值积分方法的研究一直是数值分析领域高度关注的问题[1-6],同时也是柔性多体系统动力学理论中重要的研究内容和难点。潘振宽等人[7]介绍了柔性多体系统动力学刚性微分方程的典型数值积分方法;王琪等人[8]研究了树形多体系统动力学和
带约束多体系统动力学的隐式方法;刘树青等人[9]通过零空间的正交基将柔性多体系统带拉格朗日乘子的动力学方程转化为纯微分形式进行数值求解;丁洁玉等人[10]给出了非完整约束下多体系统时间离散的变分数值积分方法,并验证了该方法对能量和约束的保持;吴锋等人[11]针对刚-柔体动力学方程提出了保辛摄动迭代法,用摄动的思想处理大范围运动和局部弹性振动两者之间的耦合项;谭述君等人[12]在Duhamel项精细积分方法的基础上,结合传统的数值积分技术构造了非线性微分方程的数值算法,该算法无需对线性系统矩阵进行求逆。近年来,随着电、热和磁等多物理场耦合[13]、系统中柔性构件的大变形[14]、变拓扑问题[15]、复合材料的应用[16]等因素的加入,柔性多体系统动力学方程的复杂程度进一步加大,从而对方程的求解提出了更高的要求。
本文以柔性多体系统中刚体-柔性悬臂梁这一典型系统为研究对象,采用高次耦合理论[14]建立其动力学方程,使用不同的数值积分方法对方程进行求解,并从计算时步、计算效率、数值精度和系统能量等方面进行比较,以期对相关数值积分方法在柔性多体系统动力学方程求解中的数值性能有深入的了解,为合理选用积分方法提供参考。
1 中心刚体-柔性悬臂梁系统动力学建模
1.1 物理模型
考虑图1所示中心刚体-柔性悬臂梁系统,中心刚体做定轴转动,其上以悬臂方式连接1柔性梁。假设柔性梁为平面细长Euler-Bernoulli梁系统,梁的材料分布均匀,且为各向同性材料,变形时梁的横截面仍然保持为平面且与中轴线垂直。在定轴转动的中心刚体上建立惯性坐标系O-XY,在柔性梁上建立浮动坐标系o-xy,ox轴与OX轴夹角为θ。刚体绕转动轴O的转动惯量为Joh,半径为a;柔性
梁的长度为L,密度为ρ,弹性模量为E,横截面积为S,截面惯性矩为I;τ为作用在转轴的力矩。
1.2 刚-柔耦合动力学方程
柔性梁上某点P(x)在变形后的矢径为 r=(a+x+w1+wc)x+w2y (1)
式中:w1(x,t)为轴线轴向伸长量,w2(x,t)为横向弯曲变形量,wc(x,t)是横向弯曲变形引起的梁纵向缩短量,称为非线性耦合变形量,见图1。wc(x,t)可表示为 (2)
于是,系统的动能可以表示为 (3)
不考虑重力势能影响,系统变形能可表示为 (4)
采用假设模态法描述柔性梁的变形,轴向变形w1和横向变形w2可分别表示为 (5)
式中:Φx(x)∈R1×N和Φy(x)∈R1×N分别为梁的轴向振动和横向振动的模态函数行矢量,A(t)∈RN×1和B(t)∈RN×1分别为轴向振动和横向振动的模态坐标列矢量,N为模态截断数。取广义坐标q=[θ AT BT]T,由第二类拉格朗日方程得到系统动力学方程 (6)
式中:M与Q分别为广义质量阵和广义力阵,可表示为 (7)
柔性多体系统动力学典型数值积分方法的比较研究
