离散数学期末考试试题及答案

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离散数学试题(B卷答案1）

一、证明题（10分）

1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R

证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R)

?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R ?T∧R(置换)?R

2) ?x (A(x)?B(x))? ?xA(x)??xB(x)

证明 ：?x(A(x)?B(x))??x(?A(x)∨B(x))

??x?A(x)∨?xB(x) ???xA(x)∨?xB(x) ??xA(x)??xB(x)

二、求命题公式(P∨(Q∧R))?(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。

证明：(P∨(Q∧R))?(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))

?（?P∧(?Q∨?R)）∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R)

?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨

(P∧Q∧R)

?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6

三、推理证明题（10分）

1） C∨D， (C∨D)? ?E， ?E?(A∧?B)， (A∧?B)?(R∨S)?R∨S

证明：(1) (C∨D)??E (2) ?E?(A∧?B)

P P

P

(3) (C∨D)?(A∧?B) T(1)(2)，I (4) (A∧?B)?(R∨S) (5) (C∨D)?(R∨S) (6) C∨D

T(3)(4)， I

P

(7) R∨S T(5)，I

2) ?x(P(x)?Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x))

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证明(1)?xP(x) P (2)P(a) T(1)，ES (3)?x(P(x)?Q(y)∧R(x)) P (4)P(a)?Q(y)∧R(a) T(3)，US (5)Q(y)∧R(a) T(2)(4)，I (6)Q(y) T(5)，I (7)R(a) T(5)，I (8)P(a)∧R(a) T(2)(7)，I (9)?x(P(x)∧R(x)) T(8)，EG (10)Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) T(6)(9)，I

四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数（10分）。

解：A，B，C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则|A|=12，|B|=6，|C|=14，|A∩C|=6，|B∩C|=5，|A∩B∩C|=2。

先求|A∩B|。

∵6=|（A∪C）∩B|=|（A∩B）∪（B∩C）|=|（A∩B）|+|（B∩C）|-|A∩B∩C|=|（A∩B）|+5-2，∴|（A∩B）|=3。

于是|A∪B∪C|=12+6+14-6-5-3+2=20。不会打这三种球的人数25-20=5。 五、已知A、B、C是三个集合，证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （10分）。

证明：∵x? A-（B∪C）? x? A∧x?（B∪C）

? x? A∧（x?B∧x?C）

?（x? A∧x?B）∧（x? A∧x?C） ? x?（A-B）∧x?（A-C） ? x?（A-B）∩（A-C）

∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C）

六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：R={| x，y?N∧y=x}，S={| x，y?N∧y=x+1}。求R、R*S、S*R、R{1，2}、S[{1，2}]（10分）。

解：R={| x，y?N∧y=x} R*S={| x，y?N∧y=x+1}

S*R={| x，y?N∧y=（x+1）}，R{1，2}={<1，1>，<2，4>}，S[{1，2}]={1，4}。

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七、设R={，，}，求r(R)、s(R)和t(R) （15分）。

解：r(R)={，，，，，} s(R)={，，，，，} R= R={，，} R={，，} R={，，}

t(R)={，，，，，，，，，}

八、证明整数集I上的模m同余关系R={|x?y(mod m)}是等价关系。其中，x?y(mod m)的含义是x-y可以被m整除（15分）。

证明：1）?x∈I，因为（x-x）/m=0，所以x?x(mod m)，即xRx。

2）?x，y∈I，若xRy，则x?y(mod m)，即（x-y）/m=k∈I，所以（y - x）/m=-k∈I，所以y?x(mod m)，即yRx。

3）?x，y，z∈I，若xRy，yRz，则（x-y）/m=u∈I，（y-z）/m=v∈I，于是（x-z）/m=（x-y+y-z）/m=u+v ∈I，因此xRz。

九、若f:A→B和g:B→C是双射，则（gf）=fg（10分）。

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证明：因为f、g是双射，所以gf：A→C是双射，所以gf有逆函数（gf）：C→A。同理可推fg：C→A是双射。

因为∈fg?存在z（∈g?∈f）?存在z（∈f?∈g）?∈gf?∈（gf），所以（gf）=fg。

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离散数学试题(B卷答案2）

一、证明题（10分）

1)((P∨Q)∧?(?P∧(?Q∨?R)))∨(?P∧?Q)∨(?P∧?R)?T

证明: 左端?((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨?((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)

? ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨?((P∨Q)∧(P∨R))(分配律) ? ((P∨Q)∧(P∨R))∨?((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律) ?T (代入)

2) ?x?y(P(x)?Q(y))? ?(?xP(x)??yQ(y)) 证明：?x?y(P(x)?Q(y))??x?y(?P(x)∨Q(y))

??x(?P(x)∨?yQ(y)) ??x?P(x)∨?yQ(y)

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