灯亮表示对应的桌腿受压，长度变短，而灯不亮表示对应的桌腿不受压，长度不变。如果假设有部分灯亮，另一部分灯不亮，就会引起矛盾。因此六盏灯全亮。
（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为 6、5、4、3、2、1）。
设模特儿重量为 P，所在 A点的坐标为( x,y) 。由于灯亮等同于对应的桌腿是否受压， 下面就分析桌腿的受力。
（a）设六条腿的受力分别是 Ni(i=1,??,6)，有平衡方程
由刚性桌面变形协调条件，可得三个方程，比如可以列出
解上述六个方程，由于桌腿不能提供拉力，令 Ni>0(i=1,??,6)，得到不等式 |3x±4y|<2a
得到解的区域为菱形 BCHI（不含边界），其中 B点坐标为 下面设模特儿位于桌面第一象，限讨论其他几种情形。
（b）五腿受力，设腿 1 不受力，令 N1=0 ，舍去方程(5)，求得均自然满足，根据
均自然满足，根据
得
这两个不等式，加上 BC，即得五腿受力区为三角形 BCD（包含 BC，但不包含边界 BD 和
CD），其中D点坐标为
（c）四腿受力有两种情况，第一种情况是 2、3、5、6 腿受力。舍去方程(5)、(6)，并令N1=N4=0 ，再令N2>0，得 -x-y+a>0
即知三角形 BDF为四腿(2，3，5，6)受力区（包含 BD，但不包含边界 DF） ，其中 F 点的坐标为(a,0)。
四腿受力的第二种情况是 3、4、5、6 受力。舍去方程(4)、(5)，且令N1=N2=0 ，令N4>0，得
-6x-2y+5a> 0
即知三角形 CDE 为四腿(3,4,5,6)受力区（包含 CD，但不包含边界 DE） ，其中 E 点的坐
标为.
（d）剩下的四边形 DEGF 为三腿(3,5,6)受力区。另外对于桌子的边界，CE 表示亮三盏灯的区域（不含 E 点）。
（e）如果要两盏灯亮，则是不稳定平衡。在第一象限内，两盏灯亮对应的区域是 EG和 GF 边表示亮两盏灯的区域（不含 G点）。 （f）一盏灯亮对应的区域是 G点。 最后根据 x轴和 y轴的对称性，即可作出整个桌面的亮灯数目区域图。 （本题改写自：陈嘉，《力学与实践》小问题第 29 题，1982，No.3；秦寿珪，《力学与实践》小问题第 100 题，1985，No.4） 三、魔术师的表演
（1）为什么在 AB板上加很重的箱子圆球不会被挤压出去，而魔术师用很小的力却可以推开圆球？这其中涉及了什么力学内容？ 关键词：摩擦，自锁。
当 AB板压在圆球上时，圆球在自重，地面反力和B处反力作用下平衡。这时圆球处于摩擦自锁，再增加箱子不破坏圆球的平衡条件。但是魔术师用水平力推圆球时，这时圆球从受三个力变为受四个力。如果摩擦力已达最大值，水平力虽然很小，仍可破坏圆球的平衡。 （2）根据上述介绍，你能否求出 AB杆与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系？ 利用三力平衡条件，圆球受力如图。
利用几何法，有
，由于 B R 要在摩擦角θ内，有
由于魔术师用很小的水平力就可以破坏圆球的平衡，所以 B R 要在摩擦角的边缘，因此
（3） AB板只在 A处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。魔术师让观众来检查，证明时平板有且只有 A点与地面接触，排除了看不见的支撑或悬挂等情况。你认为这可能吗？指出其中可能涉及的奥秘，并分析其中可能涉及的参数。
系统只有 A铰而平衡，这从静力学角度是难以想象的，但是从动力学角度就可以实现。中一种可能是：箱子中有一个转子，圆球离开时接通开关使圆轮加速转动。
设飞轮转动惯量为J ，可在箱内电机驱动下以角加速度 ε 顺时针转动。为说明问题，暂时设B处是铰链。
用动静法，飞轮上作用有力矩
系统对 点取矩，有 A
可以看出，如果
B处的约束反力就为零（由于转子的转动与电流有关，而ε 是常数，因此事先设计好电流的大小即可），这时撤去B处的约束不影响 板的平衡。 AB在表演魔术时，可以让B点与圆球接触时不通电，而圆球离开时通电。 四、出人意料的交线
（1）如果a ，求空隙的函数表达式 0 = 0 Γ ，并画出示意图。
容易看出， 时 0 a = AB杆在一个圆锥上运动，圆锥与 平面的交线为 yz
（2）如果a ，求空隙的函数表达式 0 > Γa ，并画出示意图。 Γ0 与 Γa 有何关系？ 设 AB与 yz平面的交点是P ， BP的长度为ξ。则根据几何关系， P点的坐标为
消去参变量ξ，有
所以 点的轨迹是抛物线（的一部分），这也就是空隙的方程。而曲线 Γ0 是Γa 的渐进线。
周培源力学竞赛试题与解答
