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侧
1314．棱锥的体积:V棱锥=Sh，其中S是棱锥的底面积，h是棱锥的高。 15.球的体积公式V=4?R3，表面积公式S?4?R2；掌握球面上两点
3
A、B间的距离求法：（1）计算线段AB的长，（2）计算球心角∠AOB的弧度数；(3)用弧长公式计算劣弧AB的长；
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数学第十章-排列组合二项定理 考试内容：
分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式．
组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求：
（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．
（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．
（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．
（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．
§10. 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理.
1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重复元素的排列. ．．．．．．．
从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列
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数m·m·… m = mn.. 例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：mn种） 二、排列.
1. ?对排列定义的理解.
定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成．．．．．．一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. ?相同排列.
如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数.
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号Anm表示. ?排列数公式：
Am?n(n?1)?(n?m?1)?n!(m?n,n,m?N) (n?m)!注意：n?n!?(n?1)!?n! 规定0! = 1
mmmm?1mm?1 An?1?An?Am?Cn?An?mAn
mm?1 An?nAn?10 规定Cn?Cnn?1
2. 含有可重元素的排列问题. ．．．．．．
对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于n?n!.
n1!n2!...nk!
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例如：已知数字3、2、2，求其排列个数n?(1?2)!?3又例如：数字5、
1!2!5、5、求其排列个数？其排列个数n?3!?1.
3!三、组合.
1. ?组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
Amn(n?1)?(n?m?1)n!n?组合数公式：C?m ?Cm?nm!m!(n?m)!Ammnm?1mmn?m?两个公式：①Cmn?Cn; ②Cn?Cn?Cn?1
①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合. （或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不
m?1同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有Cm?n1?C11?Cn一类是
不含红球的选法有Cmn）
②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元
1素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有Cm?n，如果不
取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有依分类原理有Cm?1mmn?Cn?Cn?1.
mCn种，
?排列与组合的联系与区别.
联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.
区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.
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?①几个常用组合数公式
012nCn?Cn?Cn???n?2 n024135Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2n?1mmmm?1Cmn?Cm?1?Cm?2?Cm?n?Cm?n?1k?1kCk?nCnn?1
11k?1Ck?Cnn?1k?1n?1②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：1?2?3??2!3!4!n1?1?（利用n?1?1?1）
n!(n?1)!n!(n?1)!(n?1)!ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.
m?1mC3?C4?C5??Cn?Cn?1. v. 递推法（即用Cmn?Cn?Cn?1递推）如：
3333402122n)?(Cn)???(Cnvi. 构造二项式. 如：(Cnn)?C2n
证明：这里构造二项式(x?1)n(1?x)n?(1?x)2n其中xn的系数，左边为
01n?12n?2n00212n2?C2n Cn?Cnn?Cn?Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?(Cn)?(Cn)???(Cn)，而右边
n四、排列、组合综合.
1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.
③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某
m(m?n)?m?1mn?m?1个元素必相邻的排列有Ann?m?1?Am个.其中An?m?1是一个“整体排
列”，而Amm则是“局部排列”.
又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为
22. An?An?11?A2
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中学数学教师招聘考试专业知识复习
