中学数学教师招聘考试专业知识复习

由天下分享时间：2024/9/14 16:29:51 加入收藏我要投稿点赞

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立体几何知识要点

一、知识提纲

（一）空间的直线与平面

⒈平面的基本性质 ?三个公理及公理三的三个推论和它们的用途． ?斜二测画法．

⒉空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线． ?公理四（平行线的传递性）．等角定理． ?异面直线的判定：判定定理、反证法． ?异面直线所成的角：定义（求法）、范围．

⒊直线和平面平行直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质． ⒋直线和平面垂直

?直线和平面垂直：定义、判定定理． ?三垂线定理及逆定理． 5.平面和平面平行

两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质． 6.平面和平面垂直

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互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．

（二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图）（三）夹角与距离

7.直线和平面所成的角与二面角

?平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平

面所成的角、直线和平面所成的角．

?二面角：①定义、范围、二面角的平面角、直二面角． ②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理． 8.距离

?点到平面的距离．

?直线到与它平行平面的距离．

?两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段． ?异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段．（四）简单多面体与球 9.棱柱与棱锥 ?多面体．

?棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质． ?平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、

正方体；平行六面体的性质、长方体的性质．

?棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质．

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?直棱柱和正棱锥的直观图的画法． 10.多面体欧拉定理的发现 ?简单多面体的欧拉公式． ?正多面体． 11.球

?球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离． ?球的体积公式和表面积公式．

二、常用结论、方法和公式

1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；

2. 已知:直二面角M－AB－N中，AE ? M，BF? N,∠EAB=?1,∠ABF=?2，异面直线AE与BF所成的角为?，则cos??cos?1cos?2; 3.立平斜公式：如图，AB和平面所成的角是?1，AC在平面内，BC和AB的射影BA1成?2，设∠ABC=?3,则cos?1cos?2=cos?3；

4.异面直线所成角的求法：

（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另

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一条的平行线；

（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；

5.直线与平面所成的角

斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键； 6.二面角的求法

（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；

（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；

（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；

（4）射影法：利用面积射影公式S射＝S原cos?,其中?为平面角的大小，此法不必在图形中画出平面角；

特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。