http://www.kmycedu.cn/
3. 球：?球的截面是一个圆面. ①球的表面积公式：S?4?R2. ②球的体积公式：V?4?R3.
3Or?纬度、经度：
①纬度：地球上一点P的纬度是指经过P点的球半径与赤道面所成的角的度数.
②经度：地球上A,B两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点的经度. 附：①圆柱体积：V??r2h（r为半径，h为高） ②圆锥体积：V?1?r2h（r为半径，h为高）
3③锥形体积：V?1Sh（S为底面积，h为高）
3RO
4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，h?S侧?32a 4632a，S底?a，34得
326321322426a?a?a?R??a?R?R?a/3?a?3?a. 43434434411V??S?R?3?S底?R?S底?h 注：球内切于四面体：B?ACD侧33②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式. 六. 空间向量.
1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.
31
http://www.kmycedu.cn/
注：①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.（×） [当b?0时，不成立]
②向量a,b,c共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面] ③若a∥b，则存在小任一实数?，使a??b.（×）[与b?0不成立] ④若a为非零向量，则0?a?0.（√）[这里用到?b(b?0)之积仍为向量] （2）共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b?0)，a ∥b的充要条件是存在实数?（具有唯一性），使a??b.
（3）共面向量：若向量a使之平行于平面?或a在?内，则a与?的关系是平行，记作a∥?.
（4）①共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量P与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x、y使P?xa?yb.
②空间任一点和不共线三点、B、C，则OP?xOA?yOB?zOC(x?y?z?1)．．．O．．．．．．．A．．．．．是
PABC
四点共面的充要条件.（简证：
四点共面）
OP?(1?y?z)OA?yOB?zOC?AP?yAB?zAC?P、A、B、C
注：①②是证明四点共面的常用方法.
2. 空间向量基本定理：如果三个向量，那么对空间任一向．．．．a,b,c不共面．．．量P，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p?xa?yb?zc. 推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在
A唯一的有序实数组x、y、z使 OP?xOA?yOB?zOC(这里隐含BGMCx+y+z≠1).
D注：设四面体ABCD的三条棱，AB?b,AC?c,AD?d,其 3中Q是△BCD的重心，则向量AQ?1(a?b?c)用AQ?AM?MQ即证. 3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横
32
http://www.kmycedu.cn/
坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a=(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)，则
a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)a?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)a?b?a1b1?a2b2?a3b3?a1a2a3??b1b2b3
∥
a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0 a?a?a?a12?a22?a3a2?a?a?a?a?a2
(用到常用的向量模与向量之间的转化：
)
.
??a1b1?a2b2?a3b3??a?bcos?a,b?????222222|a|?|b|a1?a2?a3?b1?b2?b3②空间两点的距离公式：d?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作a??，如果a??那么向量a叫做平面?的法向量. （3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面?的法向量，AB是平面?的一条射线，其中A??，则点B到平面?的距离为|AB?n|. |n|②利用法向量求二面角的平面角定理：设n1,n2分别是二面角??l??中平面?,?的法向量，则n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1,n2方向相同，则为补角，n1,n2反方，则为其夹角）. ③证直线和平面平行定理：已知直线a??平面?，A?B?a,C?D??，且CDE三点不共线，则a∥?的充要条件是存在有序实数对???使（常设AB??CD??CE求解?,?AB??CD??CE.
存在，则直线AB与平面相交）.
33
若?,?存在即证毕，若?,?不
http://www.kmycedu.cn/
An▲BB?CA▲n1CDE?n2?? II. 竞赛知识要点
一、四面体.
1. 对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：
①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；
②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心；
③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为3︰1；
④12个面角之和为720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为180°.
2. 直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形. （在直角四面体中，记V、l、S、R、r、h分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S2△ABC+S2△BCD+S2
△ABD
=S2△ACD.
3. 等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形.根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰
34
http://www.kmycedu.cn/
四面体拼补成一个长方体.
B（在等腰四面体ABCD中，记BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，
O 体积为V，外接球半径为R，内接球半径为r，高为h），则有AD①等腰四面体的体积可表示为V?13b?c?ac?a?ba2?b2?c2??222222222C ；②等腰四面体的外接球半径可表示为R?24a2?b2?c2；
③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为
m?23a2?b2?c2；
④h = 4r.
二、空间正余弦定理. 空
间
正
弦
定
理
：
sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D 空
间
余
弦
定
理
：
cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D
35
中学数学教师招聘考试专业知识复习
