http://www.kmycedu.cn/
（考生可在9（A）和9（B）中任选其一） §09. 立体几何 知识要点 一、 平面.
1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.
注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.
2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）
3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）
[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个. 4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X、Y、Z三个方向） 二、 空间直线.
1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内
[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线（.×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等） ②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交
③若直线a、b异面，a平行于平面?，b与?的关系是相交、平行、在平面?内.
④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.
21
http://www.kmycedu.cn/
⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）
⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段） ．．
⑦a,b是夹在两平行平面间的线段，若a?b，则a,b的位置关系为相交或平行或异面.
2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线） 3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.
（二面角的取值范围???0,180?） ??1122 方向相同 方向不相同 （直线与直线所成角???0,90?）
?? （斜线与平
22
http://www.kmycedu.cn/
面成角???0?,90??）
（直线与平面所成角???0?,90??）
（向量与向
量所成角??[0?,180?])
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.
5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.
空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.
l1,l2是异面直线，则过l1,l2外一点
P，过点P且与l1,l2都平行平面有一
个或没有，但与l1,l2距离相等的点在同一平面内. （L1或L2在这个做出的平面内不能叫L1与L2平行的平面） 三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.
1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.
2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（.“线线平行，线面平行”） [注]：①直线a与平面?内一条直线平行，则a∥?. （×）（平面外一条直线）
②直线a与平面?内一条直线相交，则a与平面?相交. （×）（平面外一条直线）
③若直线a与平面?平行，则?内必存在无数条直线与a平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）
23
http://www.kmycedu.cn/
④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）
⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交） ⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面） ⑦直线l与平面?、?所成角相等，则?∥?.（×）（?、?可能相交） 3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）
4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且P只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线OaA垂直.
? 若PA⊥?，a⊥AO，得a⊥PO（三垂线定理）， 得不出?⊥PO. 因为a⊥PO，但PO不垂直OA. ? 三垂线定理的逆定理亦成立.
直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）
直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. [注]：①垂直于同一平面的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于．．．．同一条直线的两个平面平行） ．．．．．
24
http://www.kmycedu.cn/
②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）
③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）
5. ?垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线．．段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.
[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]
?射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 四、 平面平行与平面垂直.
1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.
2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”） 推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.
[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.
3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）
4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.
25
中学数学教师招聘考试专业知识复习
