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②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有An?1n?1. ?A222n?1. ?Ann?1③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有A22注：①③区别在于①是确定的座位，有A种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，有不确定性.
④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.
例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为
?mm多少？An（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤n?1时有意义. n?m?An?m?12⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.
⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n
m个元素进行全排列有Ann种，m(m?n)个元素的全排列有Am种，由于要
求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有
AnnAmm种排列方法.
例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？
解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比
m例分配法）Ann/Am.
⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有
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nnCkn?C(k?1)nn?CnAkk.
例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？
C2有4?3（平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将2!200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （P?CC81810202C2/2!）
注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互
?mmm?A/A不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有Ann?mn?m?1m，当n – m+1
≥m, 即m≤n?1时有意义.
2⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.
例如：x1?x2?x3?x4?12的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为x1,x2,x3,x4显然
x1x1?x2?x3?x4?12，故（x1,x2,x3,x4）是方程的一组解.反之，方程的任何一
x2x3x4组解(y1,y2,y3,y4)，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图
所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数C.
311注意：若为非负数解的x个数，即用a1,a2,...an中ai等于x?1，有
ix1?x2?x3...?xn?A?a1?1?a2?1?...an?1?A，进而转化为求
a的正整数解的个
数为CA?n .
⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某
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n?1 http://www.kmycedu.cn/
r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有ArAn?r. 例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？
m?1?1m1m?1Am固定在某一位置上：不在某一位置上：（一Amn?An?1或An?1?Am?1?An?n?1；1rk?r类是不取出特殊元素a，有An?1，一类是取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）
⑩指定元素排列组合问题.
i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规
r定某r个元素都包含在内 。先C后A策略，排列CrrCnk??rrAkk；组合CrrCkn??r.
mii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内。先C后A策略，排列Cn?rkAkk；组合Cn?kr. iii 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素。先C后A策略，排列CrCn?rAk；组合CrCn?r. II. 排列组合常见解题策略：
①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；
⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构
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sk?sksk?s http://www.kmycedu.cn/
造模型的策略.
2. 组合问题中分组问题和分配问题.
①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为A/Arr（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分组应再除以Akk. 例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为
244.若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，C10C8C4/A22?157522224其分法种数为C101C91C8C6C4C2/A22?A4
②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为A?Am m例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，
233其安排方法为：C10?C8?C55?A3种.
若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳
3动，则安排方法有C102C83C45?A3种
③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为A/Arr?Am. m例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法
244C10C8C43?A3 种数为2A2④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数
mmm为A?Cn1Cn-2m1…Cn-k(m1?m2?...?mk-1)
例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为C
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21035C8C5?2520 http://www.kmycedu.cn/
若从10人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为C
五、二项式定理.
0n01n?1rn?rrn0n1. ?二项式定理：(a?b)n?Cnab?Cnab???Cnab???Cnab.
11023C9C7?12600.
展开式具有以下特点： ① 项数：共有n?1项；
012r② 系数：依次为组合数Cn,Cn,Cn,?,Cn,?,Cnn;
③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开. ?二项展开式的通项.
（a?b)n展开式中的第r?1项为：Tr?1?Cnarn?rrb(0?r?n,r?Z).
?二项式系数的性质.
①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数最大. ．．．．．
I. 当n是偶数时，中间项是第n?1项，它的二项式系数C2n最大； 2II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第n?1项和第n?1?1项，它们的
22二项式系数
n?1n?1C2n?C2nn最大.
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中学数学教师招聘考试专业知识复习
