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§07. 直线和圆的方程 知识要点
一、直线方程.
1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是0????180?(0????).
注：①当??90?或x2?x1时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.
2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点(a,0),(0,b)，即直线在x轴，y轴上的截距分别为a,b(a?0,b?0)时，直线方程是：x?y?1.
ab注：若y??2x?2是一直线的方程，则这条直线的方程是y??2x?2，但
33若y??2x?2(x?0)则不是这条线.
3附：直线系：对于直线的斜截式方程y?kx?b，当k,b均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果k,b变化时，对应的直线也会变化.①当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.②当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线. 3. ?两条直线平行：
l1∥l2?k1?k2两条直线平行的条件是：①l1和l2是两条不重合的直线.
②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉
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或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.
（一般的结论是：对于两条直线l1,l2，它们在y轴上的纵截距是b1,b2，则l1∥l2?k1?k2，且b1?b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2?B1A2是平行的必要不充分条件，且C1?C2）
推论：如果两条直线l1,l2的倾斜角为?1,?2则l1∥l2??1??2. ?两条直线垂直：
两条直线垂直的条件：①设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则有l1?l2?k1k2??1这里的前提是l1,l2的斜率都存在. ②l1?l2?k1?0，且l2的斜率不存在或k2?0，且l1的斜率不存在. （即A1B2?A2B1?0是垂直的充要条件） 4. 直线的交角：
?直线l1到l2的角（方向角）；直线l1到l2的角，是指直线l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角?，它的范围是(0,?)，当
??90?时tan??k2?k11?k1k2.
?两条相交直线l1与l2的夹角：两条相交直线l1与l2的夹角，是指由l1与l2相交所成的四个角中最小的正角?，又称为l1和l2所成的角，它的
????0,取值范围是??，当??90，则有tan????2??l1:A1x?B1y?C1?0??l2:A2x?B2y?C2?0k2?k11?k1k2.
5. 过两直线
的交点的直线系方程
A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0(?为参数，A2x?B2y?C2?0不包括在内）
6. 点到直线的距离：
?点到直线的距离公式：设点P(x0,y0)，直线l:Ax?By?C?0,P到l的距离
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为d，则有d?注：
1. 两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|?特例：点P(x,y)到原点O的距离：|OP|?(x2?x1)2?(y2?y1)2Ax0?By0?CA?B22.
.
x2?y2 12?????2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段PP所成的比为?即???PP??PP,其
12中P1(x1,y1),P2(x2,y2).则
x?x1??x2y??y2,y?11??1??
特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。
3. 直线的倾斜角（0°≤?＜180°）、斜率:k?tan? 4. 过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k?y2?y1x2?x1.
(x1?x2)
当x1?x2,y1?y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角?＝90?，没有斜率 王新敞
?两条平行线间的距离公式：设两条平行直线
l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2?0(C1?C2)，它们之间的距离为
d，则有
d?C1?C2A?B22.
注；直线系方程
1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m?R, C≠m).
2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m?R) 3. 过定点（x1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全
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为0)
4. 过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ( A2x+B2y+C2）=0 (λ?R） 注：该直线系不含l2.
7. 关于点对称和关于某直线对称：
?关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.
?关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.
?点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.
注：①曲线、直线关于一直线（y??x?b）对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0. ②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0. 二、圆的方程.
1. ?曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的 与一个二元方程f(x,y)?0的实数建立了如下关系： ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解. ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
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那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. ?曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x,y)其坐标与方程
f(x,y)?0的一种关系，曲线上任一点(x,y)是方程f(x,y)?0的解；反过来，
满足方程f(x,y)?0的解所对应的点是曲线上的点.
注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0
2. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是
(x?a)2?(y?b)2?r2.
特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2?y2?r2. 注：特殊圆的方程：①与x轴相切的圆方程
[r?b,圆心(a,b)或(a,?b)]
(x?a)2?(y?b)2?b2
②与y轴相切的圆方程(x?a)2?(y?b)2?a2 ③与x轴y轴都相切的圆方程(x?a)2?(y?a)2?a2 3. 圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0 .
[r?a,圆心(a,b)或(?a,b)]
[r?a,圆心(?a,?a)]
DE?当D2?E2?4F?0时，方程表示一个圆，其中圆心C???,??，半径
?22?r?D2?E2?4F2.
?22?DE?当D2?E2?4F?0时，方程表示一个点???,??.
当D2?E2?4F?0时，方程无图形（称虚圆）. 注：①圆的参数方程：??x?a?rcos??y?b?rsin?（?为参数）.
②方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件是：B?0且A?C?0且D2?E2?4AF?0.
③圆的直径或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0（用
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中学数学教师招聘考试专业知识复习
