http://www.kmycedu.cn/
§07. 直线和圆的方程 知识要点
一、直线方程.
1. 直线的倾斜角:一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0,故直线倾斜角的范围是0????180?(0????).
注:①当??90?或x2?x1时,直线l垂直于x轴,它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与x轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定.
2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地,当直线经过两点(a,0),(0,b),即直线在x轴,y轴上的截距分别为a,b(a?0,b?0)时,直线方程是:x?y?1.
ab注:若y??2x?2是一直线的方程,则这条直线的方程是y??2x?2,但
33若y??2x?2(x?0)则不是这条线.
3附:直线系:对于直线的斜截式方程y?kx?b,当k,b均为确定的数值时,它表示一条确定的直线,如果k,b变化时,对应的直线也会变化.①当b为定植,k变化时,它们表示过定点(0,b)的直线束.②当k为定值,b变化时,它们表示一组平行直线. 3. ?两条直线平行:
l1∥l2?k1?k2两条直线平行的条件是:①l1和l2是两条不重合的直线.
②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的. 因此,应特别注意,抽掉
1
http://www.kmycedu.cn/
或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.
(一般的结论是:对于两条直线l1,l2,它们在y轴上的纵截距是b1,b2,则l1∥l2?k1?k2,且b1?b2或l1,l2的斜率均不存在,即A1B2?B1A2是平行的必要不充分条件,且C1?C2)
推论:如果两条直线l1,l2的倾斜角为?1,?2则l1∥l2??1??2. ?两条直线垂直:
两条直线垂直的条件:①设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2,则有l1?l2?k1k2??1这里的前提是l1,l2的斜率都存在. ②l1?l2?k1?0,且l2的斜率不存在或k2?0,且l1的斜率不存在. (即A1B2?A2B1?0是垂直的充要条件) 4. 直线的交角:
?直线l1到l2的角(方向角);直线l1到l2的角,是指直线l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角?,它的范围是(0,?),当
??90?时tan??k2?k11?k1k2.
?两条相交直线l1与l2的夹角:两条相交直线l1与l2的夹角,是指由l1与l2相交所成的四个角中最小的正角?,又称为l1和l2所成的角,它的
????0,取值范围是??,当??90,则有tan????2??l1:A1x?B1y?C1?0??l2:A2x?B2y?C2?0k2?k11?k1k2.
5. 过两直线
的交点的直线系方程
A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0(?为参数,A2x?B2y?C2?0不包括在内)
6. 点到直线的距离:
?点到直线的距离公式:设点P(x0,y0),直线l:Ax?By?C?0,P到l的距离
2
http://www.kmycedu.cn/
为d,则有d?注:
1. 两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式:|P1P2|?特例:点P(x,y)到原点O的距离:|OP|?(x2?x1)2?(y2?y1)2Ax0?By0?CA?B22.
.
x2?y2 12?????2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段PP所成的比为?即???PP??PP,其
12中P1(x1,y1),P2(x2,y2).则
x?x1??x2y??y2,y?11??1??
特例,中点坐标公式;重要结论,三角形重心坐标公式。
3. 直线的倾斜角(0°≤?<180°)、斜率:k?tan? 4. 过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式:k?y2?y1x2?x1.
(x1?x2)
当x1?x2,y1?y2(即直线和x轴垂直)时,直线的倾斜角?=90?,没有斜率 王新敞
?两条平行线间的距离公式:设两条平行直线
l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2?0(C1?C2),它们之间的距离为
d,则有
d?C1?C2A?B22.
注;直线系方程
1. 与直线:Ax+By+C= 0平行的直线系方程是:Ax+By+m=0.( m?R, C≠m).
2. 与直线:Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是:Bx-Ay+m=0.( m?R) 3. 过定点(x1,y1)的直线系方程是: A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全
3
http://www.kmycedu.cn/
为0)
4. 过直线l1、l2交点的直线系方程:(A1x+B1y+C1)+λ( A2x+B2y+C2)=0 (λ?R) 注:该直线系不含l2.
7. 关于点对称和关于某直线对称:
?关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等.
?关于某直线对称的两条直线性质:若两条直线平行,则对称直线也平行,且两直线到对称直线距离相等.
若两条直线不平行,则对称直线必过两条直线的交点,且对称直线为两直线夹角的角平分线.
?点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,则中点在对称直线上(方程①),过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程②)①②可解得所求对称点.
注:①曲线、直线关于一直线(y??x?b)对称的解法:y换x,x换y. 例:曲线f(x ,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0. ②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0. 二、圆的方程.
1. ?曲线与方程:在直角坐标系中,如果某曲线C上的 与一个二元方程f(x,y)?0的实数建立了如下关系: ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解. ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
4
http://www.kmycedu.cn/
那么这个方程叫做曲线方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形). ?曲线和方程的关系,实质上是曲线上任一点M(x,y)其坐标与方程
f(x,y)?0的一种关系,曲线上任一点(x,y)是方程f(x,y)?0的解;反过来,
满足方程f(x,y)?0的解所对应的点是曲线上的点.
注:如果曲线C的方程是f(x ,y)=0,那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0
2. 圆的标准方程:以点C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程是
(x?a)2?(y?b)2?r2.
特例:圆心在坐标原点,半径为r的圆的方程是:x2?y2?r2. 注:特殊圆的方程:①与x轴相切的圆方程
[r?b,圆心(a,b)或(a,?b)]
(x?a)2?(y?b)2?b2
②与y轴相切的圆方程(x?a)2?(y?b)2?a2 ③与x轴y轴都相切的圆方程(x?a)2?(y?a)2?a2 3. 圆的一般方程:x2?y2?Dx?Ey?F?0 .
[r?a,圆心(a,b)或(?a,b)]
[r?a,圆心(?a,?a)]
DE?当D2?E2?4F?0时,方程表示一个圆,其中圆心C???,??,半径
?22?r?D2?E2?4F2.
?22?DE?当D2?E2?4F?0时,方程表示一个点???,??.
当D2?E2?4F?0时,方程无图形(称虚圆). 注:①圆的参数方程:??x?a?rcos??y?b?rsin?(?为参数).
②方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件是:B?0且A?C?0且D2?E2?4AF?0.
③圆的直径或方程:已知A(x1,y1)B(x2,y2)?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0(用
5
中学数学教师招聘考试专业知识复习
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)