河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考
理科数学
本试卷4页，23小题，满分150分。考试时间120分钟。 注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z???3?4i?i在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知全集R，?x?2x，则 A.x?2?x?0
2??
B.x?2?x?0 D.xx??2或x?0
??C.xx??2或x?0
????3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：
2015年高考数据统计 则下列结论正确的是
A.与2015年相比，2018年一本达线人数减少 B.与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍 C.与2015年相比，2018年艺体达线人数相同 D.与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加
2018年高考数据统计
4.已知等差数列?an?的公差为2，前n项和为Sn，且S10?100，则a7的值为 A.11
B.12
C.13
D.14
5.已知f?x?是定义在R上的奇函数，若x?0时，f?x??xlnx，则x?0时，f?x?? A.xlnx
B.xln??x? C.?xlnx
D.?xln??x?
xyx2y26.已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?和直线l:??1，若过C的左焦点和下顶点
ab43的直线与平行，则椭圆C的离心率为
A.
uuuruuur7.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AE?2EO，则
4 5 B.
3 5 C.
3 4 D.
1 5uuurED?
r2uuur1uuuA.AD?AB 33r1uuur2uuuC.AD?AB 33r1uuur2uuuB.AD?AB 33r2uuur1uuuD.AD?AB 338.某几何体的三视图如图所示，则此几何体
A.有四个两两全等的面 B.有两对相互全等的面 C.只有一对相互全等的面 D.所有面均不全等
9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角
形，设DF?2AF?2，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是
A.
4 13B.
213 13C.
9 26D.
313 26??ex,x?0,10.已知函数f?x???（e为自然对数的底数），若关于x的方程
?lnx,x?0f?x??a?0有两个不相等的实根，则a的取值范围是
A.a??1
B.?1?a?1 C.0?a?1 D.a?1
x2y211.已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆
abx2?y2?a2的切线，交双曲线右支于点M，若?F1MF2?45?，则双曲线的渐近线方程
为
A.y??2 B.y??3x
C.y??x
D.y??2x
12.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别为棱BB1，CC1的中点，点O为上底面的中心，过E，F，O三点的平面把正方体分为两部分，其中含A1的部分为V1，不含A1的部分为V2，连结A1和V2的任一点M，设A1M与平面A1B1C1D1所成角为?，则
sin?的最大值为
A.
2 2 B.
25 5C.26 5 D.26 6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
?x?y?1?0,?13.已知实数x，y满足约束条件?2x?y?4?0,，则z?x?2y的最小值为________.
?y?0,?14.已知数列?an?，若数列3?n?111an?的前n项和Tn??6n?，则a5的值为________.
5515.由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有____________个.
16已知函数f?x???sin???????x????x?2????的图像关于直线x?2对称，当
2??3??x???1,2?时，f?x?的最大值为____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文学说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考试都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。 17.（12分）
如图，在?ABC中，P是BC边上的一点，?APC?60?，AB?23，AP?PB?4. （1）求BP的长； （2）若AC?53，求cos?ACP的值. 4
18.（12分）
在?ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，AB?2BC?2CD，如图1.以DE为折痕将?ADE折起，使点A到达点P的位置，如图2.
（1）证明：平面BCP?平面CEP；
（2）若平面DEP?平面BCED，求直线DP与平面BCP所成角的正弦值。
如图1
19.（12分）
如图2
某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2018年高考的数学分数进行分析，研究发现这40名新生的数学分数x在?100,150?内，且其频率y满足y?10a?（1）求a的值；
（2）请画出这20名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名大一理工科新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量，求的数学期望.
nn?N*）（其中10n?x?10?n?1?，.
20
20.(12分）
已知抛物线E:x2?2py?p?0?的焦点为F，A?2,y0?是E上一点，且AF?2. （1）求E的方程；
（2）设点B是上异于点A的一点，直线AB与直线y?x?3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点.
21.(12分）
已知函数f?x??eax?x?1?a?R?. （1）当a?1时，求证：f?x??0； （2）讨论函数f?x?的零点的个数。
河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考
