数字信号处理期末试卷
一、填空题：（每空1分，共18分）
1、数字频率?是模拟频率?对采样频率fs的归一化，其值是 连续 ?与数字频率?之间的映射变换关系为???T。用双线性变换法将一
模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率?与数字频率?之间的映射变换关系为??2??Ttan()或??2arctan()。 T22（连续还是离散？）。
2、双边序列z变换的收敛域形状为 圆环或空集 。
N?13、某序列的DFT表达式为X(k)??x(n)WknM，由此可以看出，该序列
n?0时域的长度为 N ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是
2?M 。 4、线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为
H(z)?8(z2?z?1)2z?5z?2，则系统的极点为 z?121?2,z2??2 ；系
统的稳定性为 不稳定 。系统单位冲激响应h(n)的初值
h(0)?4；终值h(?) 不存在 。
5、如果序列x(n)是一长度为64点的有限长序列(0?n?63)，序列h(n)是一长度为128点的有限长序列(0?n?127)，记y(n)?x(n)?h(n)（线性卷积），则y(n)为 64+128-1＝191点 点的序列，如果采用基2FFT算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT的点数至少为 256 点。
6、用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率
7、当线性相位FIR数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应h(n)满足的条件为h(n)?h(N?1?n) ，此时对应系统的频率响应
H(ej?)?H(?)ej?(?)，则其对应的相位函数为?(?)??N?12?。 8、请写出三种常用低通原型模拟滤波器 巴特沃什滤波器 、 切比雪夫滤波器 、 椭圆滤波器 。 二、判断题（每题2分，共10分）
1、模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，只要
加
一
道
采
样
的
工
序
就
可
以
了
。 （╳）
2、已知某离散时间系统为y(n)?T[x(n)]?x(5n?3)，则该系统为线性时
不变系统。(╳) 3、一个信号序列，如果能做序列的傅里叶变换（DTFT），也就能对其做DFT变换。（╳）
4、用双线性变换法进行设计IIR数字滤波器时，预畸并不能消除变换中产
生
的
所
有
频
率
点
的
非
线
性
畸
变
。 （√）
5、阻带最小衰耗取决于窗谱主瓣幅度峰值与第一旁瓣幅度峰值之比。 （╳）
三、（15分）、已知某离散时间系统的差分方程为
y(n)?3y(n?1)?2y(n?2)?x(n)?2x(n?1)
系统初始状态为y(?1)?1，y(?2)?2，系统激励为x(n)?(3)nu(n)， 试求：（1）系统函数H(z)，系统频率响应H(ej?)。
（2）系统的零输入响应yzi(n)、零状态响应yzs(n)和全响应y(n)。 解：（1）系统函数为?12H(z)?1?2z2z1?3z?1?2z?2?z?z2?3z?2
系统频率响应j?2j??H(e)?H(z)z?ej??e?2eje2j??3ej??2
解一：（2）对差分方程两端同时作z变换得
Y(z)?3z?1[Y(z)?y(?1)z]?2z?2[Y(z)?y(?1)z?y(?2)z2]?X(z)?2z?1X(z)
即：Y(z)?3y(?1)?2z?1y(?1)?2y(?2)z?1)1?3z?1?2z?2?(1?21?3z?1?2z?2X(z)
上式中，第一项为零输入响应的z域表示式，第二项为零状态响应的z域表示式，将初始状态及激励的z变换X(z)?zz?3代入，得零输入响应、零状态响应的z域表示式分别为
Y?1?2z?1?2zzi(z)?1?3z?1?2z?2??z2z2?3z?2
Y1?2z?12zs(z)?1?3z??zz?2zz1?2z?2z?3?z2?3z?2?z?3 将Yzi(z),Yzs(z)展开成部分分式之和，得
Yzi(z)z?23?4z??z2?3z?2?z?1?z?2 2315Yzs(z)?z?2z12?8zz2?3z?2?z?3?z?1?z?2?2z?3
3即 Yzi(z)?3z??4z Yzs(z)?2z15?8zzz?1z?2 z?1?z?2?2z?3 对上两式分别取z反变换，得零输入响应、零状态响应分别为
yzi(k)?[3?4(2)k]?(k) y(k)?[315zs2?8(2)k?2(3)k]?(k)
故系统全响应为
y(k)?y915zi(k)?yzs(k)?[2?12(2)k?2(3)k]?(k)
解二、（2）系统特征方程为?2?3??2?0，特征根为：?1?1，?2?2；故系统零输入响应形式为 yzi(k)?c1?c2(2)k
将初始条件y(?1)?1，y(?2)?2带入上式得
???y1)?c(1zi(?1?c2?2)?1 解之得 c?1?3，c2??4，??yzi(?2)?c1?c2(14)?2故系统零输入响应为： yzi(k)?3?4(2)k k?0
系统零状态响应为
Yzs(z)?H(z)X(z)?1?2z?1?zz2?2zz1?3z?1?2z?2z?3?z2?3z?2?z?3 2315Yzs(z)?z?2zz?3z?2?1z?3?2z?1??82z?2?2zz?3
3即
Yzs(z)?2z15?8z2zz?1?z?2?z?3 对上式取z反变换，得零状态响应为 y3zs(k)?[?8(2)k?1522(3)k]?(k)故系统全响应为
y(k)?y(k)?y915zizs(k)?[2?12(2)k?2(3)k]?(k)
四、回答以下问题：
（1） 画出按时域抽取N?4点基2FFT的信号流图。
（2） 利用流图计算4点序列x(n)?(2,1,3,4)（n?0,1,2,3）的DFT。 （3） 试写出利用FFT计算IFFT的步骤。 解：（1）
x(0)Q0(0)X(0)x(2)Q0(1)x(1)?1Q(0)?jX(1)x(3)Q11(1)?1X(2)?1jX(3) kr01kl010W20W200W40W401W20W211W40W412W40W423W40W43
4点按时间抽取FFT流图 加权系数 （2） ??Q0(0)?x(0)?x(2)?2?3?5?Q(0)?x(1)?x(3)?1?4?5?Q0(1)?x(0)?x(2)?2?1??1 ?1?Q
1(1)?x(1)?x(3)?1?4??3X(0)?Q0(0)?Q1(0)?5?5?10 X(1)?Q0(1)?W41Q1(1)??1?j?3
X(2)?Q0(0)?W42Q1(0)?5?5?0 X(3)?Q0(1)?W43Q1(1)??1?3j
即： X(k)?(10,?1?3j,0,?1?3j),k?0,1,2,3 （3）1）对X(k)取共轭，得X?(k)；
2）对X?(k)做N点FFT；
3）对2）中结果取共轭并除以N。 五、（12分）已知二阶巴特沃斯模拟低通原型滤波器的传递函数为
H)?1a(ss2?1.414s?1
试用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，其3dB截止频率为?c?0.5?rad，
写出数字滤波器的系统函数，并用正准型结构实现之。（要预畸，设T?1）
解： （
1）预畸
?2c?Tarctan(?c2)?20.5?Tarctan(2)?2 （2）反归一划
H(s)?H14a(s)s?s??(s)2?1.414(s)?s2?2.828s?4
?c221（3） 双线性变换得数字滤波器
H(z)?H(s)4s?21?z?1??4T1?z?1s2?2.828s?4s?21?z?1(21?z?12?121?z1?z?11?z?1)?2.828?1?z?1?4
?4(1?2z?1?z?2)(1?2z?1?z?2)13.656?2.344z?2?0.29291?0.1716z?2
（
4）用正准型结构实现
x(n)110.2929y(n)z?12z?11?0.1716
六、（12分）设有一FIR数字滤波器，其单位冲激响应h(n)如图1所示：
h(n)2134?1012n?2
图1
试求：（1）该系统的频率响应H(ej?)；
（2）如果记H(ej?)?H(?)ej?(?)，其中，H(?)为幅度函数（可以
取负值），?(?)为相位函数，试求H(?)与?(?)；
（3）判断该线性相位FIR系统是何种类型的数字滤波器？（低通、
高通、带通、带阻），说明你的判断依据。
（4）画出该FIR系统的线性相位型网络结构流图。 解：（1）h(n)?(2,1,0,?1,?2)
4H(ej?)??h(n)e?j?n?h(0)?h(1)e?j??h(2)e?j2??h(3)e?j3??h(4)e?j4?
n?0?2?e?j??e?j3??2e?j4??2(1?e?j4?)?(e?j??e?j3?)
?2e?j2?(e?j2??ej2?)?e?j2?(ej??e?j?)?e?j2?[4jsin(2?)?2jsin(?)]
??（2）H(ej?)?e?j2?ej2[4sin(2?)?2sin(?)]?ej(2?2?)[4sin(2?)?2sin(?)]
H(?)?4sin(2?)?2sin(?)， ?(?)??2?2?
（3）H(2???)?4sin[2(2???)]?2sin(2???)??4sin(2?)?2sin(?)??H(?)
故 当??0时，有H(2?)??H(0)?H(0)，即H(?)关于0点奇对称，
H(0)?0；
当???时，有H(?)??H(?))，即H(?)关于?点奇对称，H(?)?0
上述条件说明，该滤波器为一个线性相位带通滤波器。 （4）线性相位结构流图
?1x(n)zz?1z?1z?1h(0)h(1)h(2)y(n)
八、（15分）简答题
（1） 试写出双线性变换法设计IIR数字高通滤波器的主要步骤。 （2） 简述利用窗函数来设计FIR滤波器时，对理想低通滤波器加
矩形窗处理后的影响。为了改善FIR滤波器的性能，尽可能的要求窗函数满足哪两个条件？ 解：（1）1）将数字高通滤波器的频率指标转换为模拟高通滤波器的
频率指标(其中将高通截止频率通过预畸转换为模拟高通滤波器的截止频率)
2）将模拟高通滤波器技术指标转换为模拟低通滤波器技术指标
3）设计模拟低通原型滤波器 4）将模拟低通原型滤波器通过双线性映射为数字低通原型滤波器
5）将数字低通原型滤波器通过频域变换为数字高通滤波器 （3） 理想低通滤波器加窗后的影响有3点：
1）幅频特性的陡直的边沿被加宽，形成一个过渡带，过渡带的带宽取决于窗函数频响的主瓣宽度。
2）渡带的两侧附近产生起伏的肩峰和纹波，它是由窗函数频响的旁瓣引起的，旁瓣相对值越大起伏就越强。
3）截取长度N，将缩小窗函数的主瓣宽度，但却不能减小旁瓣相对值。只能减小过渡带带宽，而不能改善滤波器通带内的平稳性和阻带中的衰减。
为了改善滤波器的性能，尽可能要求窗函数满足：
1）主瓣宽度窄，以获得较陡的过渡带
2）值尽可能小，以改善通带的平稳度和增大阻带中的衰减。
数字信号处理期末试卷(含答案)
