第3章 机械振动与机械波
3-1判断下列运动是否为简谐振动
（1） 小球沿半径很大的水平光滑圆轨道底部小幅度摆动； （2） 活塞的往复运动；
（3） 质点的运动方程为x?asin(?t??/3)?bcos(?t??/6) （4） 质点的运动方程为x?acos(?t??/3)?bcos(2?t)
d2?（5） 质点摆动角度的微分方程为 22?10??5?0
dt答：（1）是简谐振动，类似于单摆运动； （2）不是简谐振动；
（3）是简谐振动，为同频率、同振动方向的两个简谐振动的合成； （4）不是简谐振动，为不同频率、同振动方向的两个简谐振动的合成； （5）不是简谐振动。
3-2物体沿x轴作简谐振动，振幅A=m，周期T=2s。当t?0时，物体的位移x=m，且向x轴正方向运动。 求：(1)此简谐振动的表达式； (2)t?T时物体的位置、速度和加速度； 4(3)物体从x??0.06m向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间。
解：（1）设此简谐振动的表达式为：x?Acos(?t??0)，
则振动速度??dx???Asin(?t??0), dtd2x振动加速度a?2???2Acos(?t??0)
dt由题意可知：A?0.12m，T?2s，则??2??2(rad/s) T 又因为t?0时x?0.06m且??0，把初始运动状态代入有： 0.06?0.12cos?0，则?0??
3? 又因为t?0时????Asin?0?0，所以?0??时
3? 故此简谐振动的表达式为：x?0.12cos(?t?) m
3T代入简谐振动表达式： 41?x?0.12cos(???)?0.063?0.104（m）
23T 把t?代入简谐振动速度表达式：
41??????0.12sin(???)??0.06???0.18(m/s)
23T 把t?代入简谐振动加速度表达式：
41?2
a???2?0.12cos(???)??0.063?2?1.03(m/s)
23?(2) 把t?(3) 由旋转矢量法可知，物体在x??0.06m向x轴负方向运动时，相位为
2?，而物体从x??0.06m向x轴负方向运动第一次回到平衡位置时，相位33?为?2?，
23?2?5?旋转的角度????2??1???，
236??5则所需的时间为：?t??=(s)
?6?1?3-3 如图示，质量为10g的子弹以速度
v v?103m/s水平射入木块，并陷入木块中，使
k 2弹簧压缩而作简谐振动。设弹簧的劲度系数
习题3-3 图
k?8?103N?m?1，木块的质量为4.99kg，桌面摩
擦不计，试求：（1）振动的振幅；（2）振动方程。
解：（1）子弹进入木块后，与木块一起做简谐振动，子弹与木块的作用
时间短，在水平方向动量守恒且弹簧没有形变，设子弹进入木块后木块的位置为坐标原点，水平向右的方向为正方向，子弹进入木块后与木块的共同速度为?0，则m??(M?m)?0，?0?m?，代入数据得：?0?2(m/s)， M?m子弹与木块相互作用时，弹簧没有形变，即该简谐振动的初始位置x0?0，弹簧简谐振动的圆频率??2k，代入数据得：??40(rad/s)， M?m?0?所以A?x02????代入数据得：A?0.05m。
???(2) 由t?0时，x0?0且向X轴的正方向运动，所以?0??，
2?所以振动方程为：x?0.05cos(40t?) m
2?3－4一重为p的物体用两根弹簧竖直悬挂，如图所示，各弹簧的劲度系数标明在图上。试求图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率。
解：a图中两弹簧是串联的，总劲度系数k?率为??k1k2gk?。 m(k1?k2)pk1k2， 弹簧振子的固有频k1?k2b图中两弹簧是并联的，总劲度系数K?2k，弹簧振子的固有频率为
??K2kg。 ?mp3-5 一匀质细圆环质量为m，半径为R，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的周期。
解：设转动轴与细圆环的交点为坐标原点，过原点的竖直
O R θ C mg 轴为Y轴，由转动轴定理可知，该圆环的小幅度摆动的平衡位置为圆环的质心在Y轴时，由平行轴定理可知，圆环对通过环上一点而与环平面垂直的水
平轴的转动惯量为：
把圆环沿逆时针方向拉离平衡位置转动?，则圆环对转轴的重力矩为
M?mgRsin?，方向为?增大的反方向，由转动轴定理：M?J?， d2?即J2?mgRsin??0，
dtd2?mgR??0， 由于环做小幅度摆动，所以sinθ≈θ，可得微分方程2?dtJ摆动的圆频率为：??周期为：T?2??2?mgR， J?J2R ?2?mgRg3-6． 横截面均匀的光滑的U型管中有适量液体如图所示，液体的总长度为L，求液面上下微小起伏的自由振动的圆频率。
解：如图所示建立坐标，两边液面登高时为坐标原点，向上为Y轴正方向，左边液面上升y，则右边液面下降y，U型管的横截面面积为S，液体的密度为?，则左右液面的压力差为：F??2?gyS，方向为Y轴的负方向，由牛顿第二定律：F?ma可知，
d2yd2y2g?2?gyS??SL2，即2?y?0，
dtdtL故液面上下微小起伏的运动为简谐振动，其振动的圆频率
??2g L3-7 如图一细杆AB一端在水平槽中自由滑动，另一端与连接圆盘上，圆盘转轴通过o点且垂直圆盘和OX轴，当圆盘以角速度?做匀速圆周运动时，写出槽中棒端点B的振动方程，自行设计参数，利用mathematica软件或
matlab软件画出振动图线。
解：在AOB中，AB长度不变，设为l，圆半径OA不变设为R，OA与OB的夹角设为???t，则B点的坐标x满足关系式：
上式表明，x是时间t的周期函数，但不是谐振动函数。 取l?2,R?1,??10,画图如下。
3-8质量为10?10?3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.1cos(8?t?规律作振动，式中t以秒(s)计，x以米(m)计。求： （1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相； （2）振动的速度、加速度的最大值；
（3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；
画出这振动的旋转矢量图，并在图中指明t?1、2、10s等各时刻的矢量位置。
解：（1）由振动的运动学方程可知：振幅A?0.1m，圆频率??8?rad/s，
2?2?。 ?0.25(s)，初相位?0??8?3dx2?（2）振动的速度：????0.8?sin(8?t?)，振动速度的最大值为：
dt32?2?)的3周期T???max?2.51(m/s)，
d2x2?振动的加速度：a?2??6.4?2cos(8?t?)，振动加速度的最大值为：
dt3amax?63.1(m/s)
2
（3）最大回复力：Fmax?mamax?0.63(N)， 振动能量：E?kA2?m?2A2?3.16?10?2(J) 平均动能和平均势能：Ep?Ek?E?1.58?10?2(J)
3-9 质量为0.25kg的物体，在弹性力作用下作简谐振动，劲度系数
k?25N?m?1，如果开始振动时具有势能0.6J和动能0.2J，求：
121212
机械振动与机械波
