第3章 机械振动与机械波
3-1判断下列运动是否为简谐振动
(1) 小球沿半径很大的水平光滑圆轨道底部小幅度摆动; (2) 活塞的往复运动;
(3) 质点的运动方程为x?asin(?t??/3)?bcos(?t??/6) (4) 质点的运动方程为x?acos(?t??/3)?bcos(2?t)
d2?(5) 质点摆动角度的微分方程为 22?10??5?0
dt答:(1)是简谐振动,类似于单摆运动; (2)不是简谐振动;
(3)是简谐振动,为同频率、同振动方向的两个简谐振动的合成; (4)不是简谐振动,为不同频率、同振动方向的两个简谐振动的合成; (5)不是简谐振动。
3-2物体沿x轴作简谐振动,振幅A=m,周期T=2s。当t?0时,物体的位移x=m,且向x轴正方向运动。 求:(1)此简谐振动的表达式; (2)t?T时物体的位置、速度和加速度; 4(3)物体从x??0.06m向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间。
解:(1)设此简谐振动的表达式为:x?Acos(?t??0),
则振动速度??dx???Asin(?t??0), dtd2x振动加速度a?2???2Acos(?t??0)
dt由题意可知:A?0.12m,T?2s,则??2??2(rad/s) T 又因为t?0时x?0.06m且??0,把初始运动状态代入有: 0.06?0.12cos?0,则?0??
3? 又因为t?0时????Asin?0?0,所以?0??时
3? 故此简谐振动的表达式为:x?0.12cos(?t?) m
3T代入简谐振动表达式: 41?x?0.12cos(???)?0.063?0.104(m)
23T 把t?代入简谐振动速度表达式:
41??????0.12sin(???)??0.06???0.18(m/s)
23T 把t?代入简谐振动加速度表达式:
41?2
a???2?0.12cos(???)??0.063?2?1.03(m/s)
23?(2) 把t?(3) 由旋转矢量法可知,物体在x??0.06m向x轴负方向运动时,相位为
2?,而物体从x??0.06m向x轴负方向运动第一次回到平衡位置时,相位33?为?2?,
23?2?5?旋转的角度????2??1???,
236??5则所需的时间为:?t??=(s)
?6?1?3-3 如图示,质量为10g的子弹以速度
v v?103m/s水平射入木块,并陷入木块中,使
k 2弹簧压缩而作简谐振动。设弹簧的劲度系数
习题3-3 图
k?8?103N?m?1,木块的质量为4.99kg,桌面摩
擦不计,试求:(1)振动的振幅;(2)振动方程。
解:(1)子弹进入木块后,与木块一起做简谐振动,子弹与木块的作用
时间短,在水平方向动量守恒且弹簧没有形变,设子弹进入木块后木块的位置为坐标原点,水平向右的方向为正方向,子弹进入木块后与木块的共同速度为?0,则m??(M?m)?0,?0?m?,代入数据得:?0?2(m/s), M?m子弹与木块相互作用时,弹簧没有形变,即该简谐振动的初始位置x0?0,弹簧简谐振动的圆频率??2k,代入数据得:??40(rad/s), M?m?0?所以A?x02????代入数据得:A?0.05m。
???(2) 由t?0时,x0?0且向X轴的正方向运动,所以?0??,
2?所以振动方程为:x?0.05cos(40t?) m
2?3-4一重为p的物体用两根弹簧竖直悬挂,如图所示,各弹簧的劲度系数标明在图上。试求图示两种情况下,系统沿竖直方向振动的固有频率。
解:a图中两弹簧是串联的,总劲度系数k?率为??k1k2gk?。 m(k1?k2)pk1k2, 弹簧振子的固有频k1?k2b图中两弹簧是并联的,总劲度系数K?2k,弹簧振子的固有频率为
??K2kg。 ?mp3-5 一匀质细圆环质量为m,半径为R,绕通过环上一点而与环平面垂直的水平轴在铅垂面内作小幅度摆动,求摆动的周期。
解:设转动轴与细圆环的交点为坐标原点,过原点的竖直
O R θ C mg 轴为Y轴,由转动轴定理可知,该圆环的小幅度摆动的平衡位置为圆环的质心在Y轴时,由平行轴定理可知,圆环对通过环上一点而与环平面垂直的水
平轴的转动惯量为:
把圆环沿逆时针方向拉离平衡位置转动?,则圆环对转轴的重力矩为
M?mgRsin?,方向为?增大的反方向,由转动轴定理:M?J?, d2?即J2?mgRsin??0,
dtd2?mgR??0, 由于环做小幅度摆动,所以sinθ≈θ,可得微分方程2?dtJ摆动的圆频率为:??周期为:T?2??2?mgR, J?J2R ?2?mgRg3-6. 横截面均匀的光滑的U型管中有适量液体如图所示,液体的总长度为L,求液面上下微小起伏的自由振动的圆频率。
解:如图所示建立坐标,两边液面登高时为坐标原点,向上为Y轴正方向,左边液面上升y,则右边液面下降y,U型管的横截面面积为S,液体的密度为?,则左右液面的压力差为:F??2?gyS,方向为Y轴的负方向,由牛顿第二定律:F?ma可知,
d2yd2y2g?2?gyS??SL2,即2?y?0,
dtdtL故液面上下微小起伏的运动为简谐振动,其振动的圆频率
??2g L3-7 如图一细杆AB一端在水平槽中自由滑动,另一端与连接圆盘上,圆盘转轴通过o点且垂直圆盘和OX轴,当圆盘以角速度?做匀速圆周运动时,写出槽中棒端点B的振动方程,自行设计参数,利用mathematica软件或
matlab软件画出振动图线。
解:在AOB中,AB长度不变,设为l,圆半径OA不变设为R,OA与OB的夹角设为???t,则B点的坐标x满足关系式:
上式表明,x是时间t的周期函数,但不是谐振动函数。 取l?2,R?1,??10,画图如下。
3-8质量为10?10?3kg的小球与轻弹簧组成的系统,按x?0.1cos(8?t?规律作振动,式中t以秒(s)计,x以米(m)计。求: (1)振动的圆频率、周期、振幅、初位相; (2)振动的速度、加速度的最大值;
(3)最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能;
画出这振动的旋转矢量图,并在图中指明t?1、2、10s等各时刻的矢量位置。
解:(1)由振动的运动学方程可知:振幅A?0.1m,圆频率??8?rad/s,
2?2?。 ?0.25(s),初相位?0??8?3dx2?(2)振动的速度:????0.8?sin(8?t?),振动速度的最大值为:
dt32?2?)的3周期T???max?2.51(m/s),
d2x2?振动的加速度:a?2??6.4?2cos(8?t?),振动加速度的最大值为:
dt3amax?63.1(m/s)
2
(3)最大回复力:Fmax?mamax?0.63(N), 振动能量:E?kA2?m?2A2?3.16?10?2(J) 平均动能和平均势能:Ep?Ek?E?1.58?10?2(J)
3-9 质量为0.25kg的物体,在弹性力作用下作简谐振动,劲度系数
k?25N?m?1,如果开始振动时具有势能0.6J和动能0.2J,求:
121212
机械振动与机械波
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