圆的方程
一、知识梳理
(一)圆中有关定理和性质：
1. 圆心在过切点且与 的直线上； 2. 圆心在任一弦的 上；
3. 两圆内切或外切时 与 三点共线. (二)圆的方程：
（1）标准式：以(a，b)为圆心、r(r>0)为半径的圆的标准方程为 . （2）一般式：圆的方程的一般形式是x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，其中圆心为 ，半径为 .
当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示： . 当D2+E2-4F0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不表示 .
【理科】3.参数式：以(a，b)为圆心、r(r>0)为半径的圆的参数方程为 . 【理科】4.极坐标式：圆的极坐标式与直角坐标方程之间的转化公式： ， ， .
【理科】5.复数式：以Z0?a?bi(a、b?R)、r为半径圆的方程为： . （三）圆的方程的求法： (1) ； (2) . (四)点与圆的关系：
1、设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r.若点P在圆上，则
点P在圆上，则 ；若P在圆外，则 ；若点P在圆内，则 . 2、设点P(m，n)，圆C：f(x，y)=(x-a)2+(y-b)2-r2=x2+y2+Dx+Ey+F=0(r>0，D2+E2-4F>0)，则点P在圆C外? ；点P在圆C上? ；点P在圆C内? .
二、基础训练： ?1.已知某圆的内接正方形ABCD相对的两个顶点的坐标分别为A(5,6),C(3,4) ，那么这个圆
的方程为 .
?2.若圆x2?y2?4x?2by?b2?0 经过原点，则b? ；若该圆与x轴相切，则
b= .
?3.已知点P(1，1)在圆x2?y2?ax?2ay?4?0的内部，那么实数a的取值范围
是 . ??4.若直线x?y?3?0 平分圆x2?y2?2ax?2ay?1?0的周长，则实数
a? . ??5.若某圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x?3y?0和x轴都相切，则该圆的标准方程是 . ??6.已知点M(x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为
为 . 1，那么点M的轨迹方程2??7.若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y?x对称，则圆C的标准方程
为 . ??8.已知三点A(1,0),B(0,3),C(2,3),那么?ABC外接圆的圆心到原点的距离
为 . ???9．已知半径为2，圆心在直线y??x?2上的圆C.若圆C经过点A(2，2)且与y轴相切，
则圆C的方程为 . ???10.已知某圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶
1；③圆心到直线l:x?2y?0的距离为
5.那么该圆的方程为 . 5三、例题选讲：
?例1：根据下列条件求圆的方程：
(1)经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+1=0上； (2)圆心在直线y=-4x上，且与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2).
?例2：如图，圆O1与圆O2的半径都为1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，
PN(点M，N分别为切点)，使得PM=2PN.试建立适当的平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程.
??例3：已知圆M经过A(1，-2)，B(-1，0)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，求圆
M的方程.
??例4：求半径为2，圆心在直线l1：y=2x上，且被直线l2：x-y-1=0所截弦的长为22的圆
的方程.
???例5：已知O为坐标原点，定直线l：x=2，定点F(1，0)，M是l上的点，过点F作OM的
垂线与以OM为直径的圆D交于P，Q两点. (1)若PQ=6，求圆D的方程；
(2)若M是l上的动点，证明点P在定圆上，并求该定圆的方程.
四、课后总结：
会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程；了解圆的一般方程的代数特征，能实现一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数D、E、F。可以通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.
答案： 知识梳理：
（一） 圆中有关定理和性质：
1.圆心在过切点且与切线垂直的直线上； 2.圆心在任一弦的中垂线上；
3.两圆内切或外切时切点与两圆圆心三点共线. （二）圆的方程：
（1）标准式：以(a，b)为圆心、r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
圆的方程
