圆的方程
一、知识梳理
(一)圆中有关定理和性质:
1. 圆心在过切点且与 的直线上; 2. 圆心在任一弦的 上;
3. 两圆内切或外切时 与 三点共线. (二)圆的方程:
(1)标准式:以(a,b)为圆心、r(r>0)为半径的圆的标准方程为 . (2)一般式:圆的方程的一般形式是x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),其中圆心为 ,半径为 .
当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示: . 当D2+E2-4F0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不表示 .
【理科】3.参数式:以(a,b)为圆心、r(r>0)为半径的圆的参数方程为 . 【理科】4.极坐标式:圆的极坐标式与直角坐标方程之间的转化公式: , , .
【理科】5.复数式:以Z0?a?bi(a、b?R)、r为半径圆的方程为: . (三)圆的方程的求法: (1) ; (2) . (四)点与圆的关系:
1、设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r.若点P在圆上,则
点P在圆上,则 ;若P在圆外,则 ;若点P在圆内,则 . 2、设点P(m,n),圆C:f(x,y)=(x-a)2+(y-b)2-r2=x2+y2+Dx+Ey+F=0(r>0,D2+E2-4F>0),则点P在圆C外? ;点P在圆C上? ;点P在圆C内? .
二、基础训练: ?1.已知某圆的内接正方形ABCD相对的两个顶点的坐标分别为A(5,6),C(3,4) ,那么这个圆
的方程为 .
?2.若圆x2?y2?4x?2by?b2?0 经过原点,则b? ;若该圆与x轴相切,则
b= .
?3.已知点P(1,1)在圆x2?y2?ax?2ay?4?0的内部,那么实数a的取值范围
是 . ??4.若直线x?y?3?0 平分圆x2?y2?2ax?2ay?1?0的周长,则实数
a? . ??5.若某圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x?3y?0和x轴都相切,则该圆的标准方程是 . ??6.已知点M(x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为
为 . 1,那么点M的轨迹方程2??7.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y?x对称,则圆C的标准方程
为 . ??8.已知三点A(1,0),B(0,3),C(2,3),那么?ABC外接圆的圆心到原点的距离
为 . ???9.已知半径为2,圆心在直线y??x?2上的圆C.若圆C经过点A(2,2)且与y轴相切,
则圆C的方程为 . ???10.已知某圆满足:①截y轴所得的弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶
1;③圆心到直线l:x?2y?0的距离为
5.那么该圆的方程为 . 5三、例题选讲:
?例1:根据下列条件求圆的方程:
(1)经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上; (2)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2).
?例2:如图,圆O1与圆O2的半径都为1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1,圆O2的切线PM,
PN(点M,N分别为切点),使得PM=2PN.试建立适当的平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.
??例3:已知圆M经过A(1,-2),B(-1,0)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为2,求圆
M的方程.
??例4:求半径为2,圆心在直线l1:y=2x上,且被直线l2:x-y-1=0所截弦的长为22的圆
的方程.
???例5:已知O为坐标原点,定直线l:x=2,定点F(1,0),M是l上的点,过点F作OM的
垂线与以OM为直径的圆D交于P,Q两点. (1)若PQ=6,求圆D的方程;
(2)若M是l上的动点,证明点P在定圆上,并求该定圆的方程.
四、课后总结:
会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程;了解圆的一般方程的代数特征,能实现一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D、E、F。可以通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.
答案: 知识梳理:
(一) 圆中有关定理和性质:
1.圆心在过切点且与切线垂直的直线上; 2.圆心在任一弦的中垂线上;
3.两圆内切或外切时切点与两圆圆心三点共线. (二)圆的方程:
(1)标准式:以(a,b)为圆心、r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
圆的方程
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