全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分）
y(x?y)ln(1?)xdxdy?____________，其中区域D由直线x?y?1与两坐标轴所围成三角1．计算??D1?x?y形区域.
2．设f(x)是连续函数，且满足f(x)?3x2??f(x)dx?2，则f(x)?____________.
02x23．曲面z??y2?2平行平面2x?2y?z?0的切平面方程是__________.
24．设函数y?y(x)由方程xef(y)?eyln29确定，其中f具有二阶导数，且f??1，则
d2y
?________________. 2
dx
eex?e2x???enxx)，其中n是给定的正整数. 二、（5分）求极限lim(x?0n1f(x)三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)??f(xt)dt，且lim?A，A为常数，求g?(x)并讨论
0x?0xg?(x)在x?0处的连续性.
四、（15分）已知平面区域D?{(x,y)|0?x??,0?y??}，L为D的正向边界，试证：
（1）
siny?sinx?sinysinxxedy?yedx?xedy?yedx； ??LL（2）xeL?siny5dy?ye?sinydx??2.
2x2x五、（10分）已知y1?xe?e2，y2?xe?ex?x，y3?xe?ex2x?e?x是某二阶常系数线性非齐
次微分方程的三个解，试求此微分方程.
六、（10分）设抛物线y?ax?bx?2lnc过原点.当0?及直线x?1所围图形的面积为小.
?e?(x)?un(x)?xen?1,2,L，且un(1)?，求函数项级数?un(x)七、（15分）已知un(x)满足unnn?1n?1xx?1时，y?0，又已知该抛物线与x轴
1.试确定a,b,c，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最3之和.
八、（10分）求x?1时，与
??xn等价的无穷大量.
n?0?22010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、（25分，每小题5分） （1）设xn?(1?a)(1?a2)L(1?a2)，其中|a|?1,求limxn.
n??n（2）求limex???x?1??1??. ?x?x2?sxn（3）设s?0，求In??exdx(n?1,2,L).
0??2g?2g?1?（4）设函数f(t)有二阶连续导数，r?x?y,g(x,y)?f??，求?2. 2r?x?y??22（5）求直线l1:??x?y?0x?2y?1z?3与直线l2:的距离. ??4?2?1?z?0x???二、（15分）设函数f(x)在(??,??)上具有二阶导数，并且f??(x)?0，limf?(x)???0，
x???limf?(x)???0，且存在一点x0，使得f(x0)?0.证明：方程f(x)?0在(??,??)恰有两个实根.
?x?2t?t2d2y3(t??1)所确定，且2?三、（15分）设函数y?f(x)由参数方程?，
dx4(1?t)y??(t)?其中?(t)具有二阶导数，曲线y??(t)与y??e?udu?1t223在t?1出相切，求函数?(t). 2e四、（15分）设an?0,Sn????ak?1nk，证明：
（1）当??1时，级数?an收敛； ?n?1Snan发散. ?n?1Sn222（2）当??1且sn??(n??)时，级数???五、（15分）设l是过原点、方向为(?,?,?)，（其中??????1)的直线，均匀椭球
x2y2z2?2?2?1（其中0?c?b?a，密度为1）绕l旋转. 2abc（1）求其转动惯量；
（2）求其转动惯量关于方向(?,?,?)的最大值和最小值.
六、(15分)设函数?(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分
2xydx??(x)dy??Lx4?y2?0的值为常数.
（1）设L为正向闭曲线(x?2)?y?1，证明
222xydx??(x)dy??Lx4?y2?0；
（2）求函数?(x)；
（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求
2xydx??(x)dy??Cx4?y2.
2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分） （1）求lim?11?cosx?sinx??x?0?x?；
（2）.求lim?11??1??...??； n??n?1n?2n?n??2t?d2y?x?ln?1?e?（3）已知?，求2.
tdx??y?t?arctane二、（本题10分）求方程?2x?y?4?dx??x?y?1?dy?0的通解.
三、（本题15分）设函数f(x)在x?0的某邻域内具有二阶连续导数，且f?0?,f??0?,f???0?均不为0，证明：存在唯一一组实数k1,k2,k3，使得
limk1f?h??k2f?2h??k3f?3h??f?0??0. 2h?0hx2y2z2四、（本题17分）设?1:2?2?2?1，其中a?b?c?0，?2:z2?x2?y2，?为?1与?2的交线，
abc求椭球面?1在?上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.
?x2?3y2?1五、（本题16分）已知S是空间曲线?绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（z?0）（取
z?0?上侧），?是S在P(x,y,z)点处的切平面，?(x,y,z)是原点到切平面?的距离，?,?,?表示S的正法向的方向余弦.计算： （1）??SzdS；（2）??z??x?3?y??z?dS
??x,y,z?S六、（本题12分）设f(x)是在(??,??)内的可微函数，且f?(x)?mf(x)，其中0?m?1，任取实数
?a0，定义an?lnf(an?1),n?1,2,...，证明：?(an?an?1)绝对收敛.
n?1七、（本题15分）是否存在区间?0,2?上的连续可微函数f(x)，满足f(0)?f(2)?1，f?(x)?1，
?20f(x)dx?1?请说明理由.
2012年第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）.
（1）求极限lim(n!).
n??1n2?2x?y?3z?2?0（2）求通过直线l:?的两个互相垂直的平面?1和?2，使其中一个平面过点
?5x?5y?4z?3?0(4,?3,1).
（3）已知函数z?u(x,y)eax?by?2u?0.确定常数a和b，使函数z?z(x,y)满足方程，且
?x?y?2z?z?z???z?0. ?x?y?x?y（4）设函数u?u(x)连续可微，u(2)?1，且?(x?2y)udx?(x?u3)udy在右半平面与路径无关，求
Lu(x,y).
（5）求极限lim3x???x?x?1xsintdt.
t?cost??0二、（本题10分）计算?e?2xsinxdx.
三、（本题10分）求方程x2sin1?2x?501的近似解，精确到0.001. xx3f(u)四、（本题12分）设函数y?f(x)二阶可导，且f??(x)?0，f(0)?0，f?(0)?0，求lim，
x?0f(x)sin3u其中u是曲线y?f(x)上点P(x,f(x))处的切线在x轴上的截距. 五、（本题12分）求最小实数C，使得满足?10f(x)dx?1的连续函数f(x)都有?f(x)dx?C.
01六、（本题12分）设f(x)为连续函数，t?0.区域?是由抛物面z?x2?y2和球面
x2?y2?z2?t2(z?0)所围起来的部分.定义三重积分F(t)????f(x2?y2?z2)dv，
?求F(t)的导数F??(t).
七、（本题14分）设?an与?bn为正项级数，证明：
n?1n?1?an1?（1）若lim???0，则级数?an收敛；
n??abbn?1n?1nn?1??（2）若lim?n????an1??0?，且级数?bn发散，则级数?an发散. an?1bnbn?1n?1n?12013年第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、解答下列各题（每小题6分，共24分，要求写出重要步骤） 1.求极限lim1?sin?1?4n2n????.
n2.证明广义积分???0sinxdx不是绝对收敛的. x3.设函数y?y(x)由x3?3x2y?2y3?2确定，求y(x)的极值.
4.过曲线y?3x(x?0)上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为求点A的坐标.
二、（满分12分）计算定积分I?????3，4xsinx?arctanexdx.
1?cos2x?f?x??1?三、（满分12分）设f?x?在x?0处存在二阶导数f??(0)，且lim?0.证明：级数?f??x?0x?n?n?1收敛.
2. ?am五、（满分14分）设?是一个光滑封闭曲面，方向朝外.给定第二型的曲面积分四、（满分12分）设f(x)??,f?(x)?m?0(a?x?b)，证明
bsinf(x)dx?I????x3?x?dydz??2y3?y?dzdx??3z3?z?dxdy.试确定曲面?，使积分I的值最小，并求该最小
?值.
六、（满分14分）设Ia(r)??求极限limIa(r).
r???ydx?xdy222ax?xy?y?r，其中为常数，曲线为椭圆，取正向.CC(x2?y2)a111??L?n的敛散性，若收敛，求其和. 七、（满分14分）判断级数?2n?1?n?1??n?2??2014年第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、填空题（共有5小题，每题6分，共30分）
1.已知y1?ex和y1?xex是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是.
2.设有曲面S:z?x2?2y2和平面L:2x?2y?z?0.则与L平行的S的切平面方程是. 3.设函数y?y(x)由方程x??4.设xn??ny?x1dy??t?sin2??dt所确定.求
dx?4??.
x?0k，则limxn?.
n??(k?1)!k?11f(x)f(x)?x?3lim?. 5.已知lim?1?x?，则?e?x?0x?0x2x??二、（本题12分）设n为正整数，计算I???2n?e1d?1?cos?ln?dx. dx?x?三、（本题14分）设函数f(x)在[0,1]上有二阶导数，且有正常数A,B使得f(x)?A，|f\x)|?B.证明：对任意x?[0,1]，有|f'(x)|?2A?B. 2四、（本题14分）（1）设一球缺高为h，所在球半径为R.证明该球缺体积为
222?3(3R?h)h2，球
冠面积为2?Rh；（2）设球体(x?1)?(y?1)?(z?1)?12被平面P:x?y?z?6所截的小球缺为?，记球缺上的球冠为?，方向指向球外，求第二型曲面积分
I???xdydz?ydzdx?zdxdy.
?五、（本题15分）设f在[a,b]上非负连续，严格单增，且存在xn?[a,b]，使得
[f(xn)]n?1bn[f(x)]dx.求limxn.
n??b?a?a???nnnlimn?A，求??L???. n22222n??n?1n?2n?n?4?六、（本题15分）设An?2015年第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）
?2???sinsin?sin??（1）极限limn?2n?2n?L?2??. n??n?1n?2n?n????（2）设函数z?z?x,y?由方程F?x???z?z?y?. ?x?y2?zz?,y???0所决定，其中F?u,v?具有连续偏导数，且yx?xFu?yFv?0则x2（3）曲面z?x?y?1在点M?1,?1,3?的切平面与曲面所围区域的体积是.
??3,x???5,0?（4）函数f?x???在??5,5?的傅立叶级数在x?0收敛的是.
0,x?0,5????（5）设区间
?0,???上的函数u?x?定义域为u?x???0??e?xtdt，则u?x?的初等函数表达式是.
2二、（12分）设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程. 三、（12分）设f?x?在
?a,b?内二次可导，且存在常数?,?，使得对于
?x??a,b?，有
f??x???f?x???f?x?，则f?x?在?a,b?内无穷次可导.
n3?2n四、（14分）求幂级数??x?1?的收敛域及其和函数.
n?0?n?1?!?五、（16分）设函数（1）?x0?f?x?在?0,1?上连续，且?01f?x?dx?0,?xf?x?dx?1.试证：
01?0,1?使f?x0??4；
（2）?x1??0,1?使f?x1??4.
222f?x,y?在x2?y2?1上有连续的二阶偏导数，且fxx?2fxy?fyy?M.若
五、（16分）设
f?0,0??0,fx?0,0??fy?0,0??0，证明：
x2?y2?1??f?x,y?dxdy??M4.
2016年第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、填空题（每小题5分，满分30分）
??1、若f?x?在点x?a可导，且f?a??0，则lim?n?????2、若f?1??0，f??1?存在，求极限I?limx?01???f?a???n????__________. f?a????nf?sin2x?cosx?tan3x?ex2?1sinx?.
3、设f?x?有连续导数，且f?1??2，记z?fexy2，若4、设f?x??exsin2x，求0?an????z?z，求f?x?在x?0的表达式. ?x?2，f?4??0?.
x25、求曲面 z??y2平行于平面2x?2y?z?0的切平面方程.
2二、（14分）设f?x?在?0,1?上可导，f?0??0，且当x??0,1?，0?f??x??1，试证当a??0,1?，
??a0f?x?dx?2??f3?x?dx.
0a三、（14分）某物体所在的空间区域为?:x2?y2?2z2?x?y?2z，密度函数为x2?y2?z2，求质量
M?????x2?y2?z2?dxdydz.
?四、（14分）设函数
f?x?在闭区间?0,1?上具有连续导数，f?0??0，f?1??1，
1?k????. ???2?n??1?11n证明：limn??f?x?dx??fn??nk?1?0五、（14分）设函数f?x?在闭区间?0,1?上连续，且I??f?x?dx?0，证明：在?0,1?内存在不同的两
0点x1,x2，使得
112??. f?x1?f?x2?I六、（14分）设f?x?在???,???可导，且f?x??f?x?2??fx?3.用Fourier级数理论证明f?x?为常数.
2017年第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
x??一、1.已知可导函数??(??)满足cosxf(x)?2?f(t)sintdt?x?1，则f(x)=_________.
022．求limsin2???n?n??.
n????3.设w?f(u,v)具有二阶连续偏导数，且u=x?cy，v=x+cy，其中c为非零常数.则
wxx?1wyy=_________. c2f(sin2x)4.设f(x)有二阶导数连续，且f(0)?f'(0)?0,f\?6，则lim=____.
x?0x4e?sinxsin2xdx=________. 5.不定积分I??(1?sinx)26.记曲面z?x?y和z?2224?x2?y2围成空间区域为V，则三重积分
???zdxdydz=___________.
V二、（本题满分14分)设二元函数
f(x,y)在平面上有连续的二阶偏导数.对任何角度?，定义一元函数
g?(t)?f(tcos?,tsin?).
dg?(0)d2g?(0)?0且?0.证明f(0,0)是f(x,y)的极小值. 若对任何?都有
dt2dt三、(本题满分14分)设曲线?为在
x2?y2?z2?1，x?z?1，x?0,y?0,z?0
上从A(1,0,0)到B(0,0,1)的一段.求曲线积分I??ydx?zdy?xdz.
?四、(本题满分15分)设函数f(x)?0且在实轴上连续，若对任意实数t，有
?????e?|t?x|f(x)dx?1，则?a,b(a?b)，?f(x)dx?abb?a?2. 2五、(本题满分15分)设{an}为一个数列，
p为固定的正整数。若
lim?an?p?an???，
n??an??. 其中?为常数，证明limn??np
历届全国大学生数学竞赛预赛试卷
