学材重构：促进学生学习的教材观
丁益民
【摘 要】在课程改革的背景下，教师作为教材的解读者与组织者，应将教材转化为有利于学生学习的学材，以学材观审读与研析教材，在文本转换中实施学材重构。研究者通过研究教材内容的重组与学材观的建立、学材视域下学生主体性的认识以及整体观下的学材重构，并以基本不等式为例，阐释学材重构的教学意义，促进学生对知识本质的理解。
【关键词】学材重构;文本转换;基本不等式
【作者简介】丁益民，高级教师，新青年数学教师工作室创始成员，主要研究方向为高中数学教学。
【基金项目】江苏省教研室第13期重点课题“基于深度学习的高中数学中观教学设计的研究”（2024JK13-ZB34）
随着学习心理学新成果地不断涌现，人本主义的理念得到普遍认可，主体意识的觉醒让个性化学习成为当代教育的必然。学校教育已经从知识转向素养，知识已成为培育学生数学能力和核心素养的载体，学生在获取知识的过程中提升各种核心素养，数学教育已从知识与技能的传授转变成培养学生的“四基”“四能”。在这样的新背景下，教材也发生了较大变化，教材的编写更加关注学生的自主学习和深度学习，如整体性设计单元知识，大背景、大观念的引领示范教学等，融入数学探究、数学建模、数学阅读、数学写作等多种活动来促进数学的学习，教材已经从“教”的材料演变成“学”的材料[1]，因此，建立正确的学材观是促进学生学习的前提。
一、教材内容的重组与学材观的建立
传统数学教材的编写一般比较注重知识的学术性，强调教材是教学中唯一的“法定文化”。从根本上讲，这是以教为中心的教材观的集中体现，教材对学生而言更多呈现的是训练的功能，学生的学习活动被教师的“教教材”所支配，教学活动的组织实施与学生的认知规律、心理特点和思维发展存在一定的差距，这样的知识传授只是一种“学究式知识”的传递，而不是触及主体体验的“发现式学习IaPUQvCMjjD78D3KJzAuOw==”。
课程标准是教材编写的基本依据，不管怎样编写教材，课程标准、教材、教学这三者之间都会存有一定的空间[2]，比如数学本身的抽象，知识的时空限制，编者的不同理解等，这就为教师重构教材提供了可能，即以学生的深度学习为目的，依据课程标准开发教材，让教材成为培育学生核心素养的土壤，这便是学材观的建立。
学材观的建立强调对教材内容的重新组织，使教学内容更具有系统化、结构化和科学化，更利于学生的数学学习。钟启泉教授说：“既不能无视儿童已有的知识体系，单向地灌输知识，也不能走向轻视概念性知识、无视知识结构化的体验主义教育。”尽量减少机械性的接受，消除无意义的接受，使学生朝着有意义接受性学习的方向学习知识，将数学知识在相互联系的基础上组织起来，以学生心智发展规律为基础，加强数学学材与学生生活的客观世界的联系，引导学生从“被动学”向“主动求知”转变，从被动记忆转化为主动内化，以唤起学生学习的主动性为根本目标。
二、学材视域下学生主体性的认识
建构主义学习理论认为，学生的学Umo36imdpCpEu9cHc+UguQ==习过程并不是由教师单一地将知识教给学生，而是学生主动参与并自主建构知识的过程，学生的学习是基于原有知识结构和认知经验，对已有知识体系进行更新与重构的过程。学材观要求教师关注学生是认知的主体，充分考虑学生原有知识结构与新知识的逻辑关联，引导他们将
新知识的建构融入到原有相关认知结构和活动经验中去，促进学生在知识的理解水平和思维水平等方面的提升，形成“四基”与“四能”。
为了实现学生对学材的自主建构，在教学中，教师应始终以学生自己的建构为主旨，充分暴露学生知识建构的思维过程，以组织者的身份引导学生用数学的眼光来看客观世界的千變万化，用数学的思维分析各种现象，进而用数学的语言进行表达与交流。教师还要积极提供各种教学平台，鼓励学生勇敢地发表自己的数学见解。在教学中，教师要充分考虑学生的心智特点，创设适合学生年龄、生活和认知基础的情境（包括数学内部的情境、生活情境以及科学情境），贴近他们的学习环境和学习心理，让他们在这样的情境中进行直观想象、抽象概括等思维活动，进行有意义的数学学习，达到真正理解知识本质的目的。
凸显学生主体地位的学材观建立，其根本目的是充分调动学生数学学习的积极性，激发学生数学学习的内驱力，改变被动接受的浅层学习状态，为实现深度学习提供可能。事实表明，只有学生真正参与到建构的活动中去，才能促使他们树立正确的数学观和数学学习观。从本质上讲，教师的“教”是为了唤醒学生本有的学习潜能，是为了指导他们如何更好地进行数学学习，让他们更真实地进行知识的建构、思维的训练，积累更多的有意义的学习经验，逐步形成现代公民生活和工作必需的数学素养和关键能力。
三、整体观下的学材重构
特级教师李庾南先生提出了“学材再建构”的教学主张，这对于指导教师开展数学单元教学具有重要意义。“学材再建构”是从知识整体性的视角对数学学材进行整合、重组而进行的单元教学的建构。这就要求数学教学不能照本宣科，而必须以课程标准为基础，以教材为参照材料，以学生的最大发展为旨归，重新建构学材，源于教材，高于教材[3]。
教师作为教材的解读者与组织者，应将教材转化为有利于学生学习的学材。学材重构是教师进行教材开发与实施中不可或缺的方式之一，其首要目标是促使学生真正理解数学知识的本质和核心概念的内涵。学材重构需要教师以整体的视角站在学生学习的立场审视教材文本，正确理解教材编写意图，积极挖掘教学内容的教学功能，对教材进行深度的研读、分析与评鉴，不仅找到其可操作的方法（包括教学功能、学科本质的体现、教学组织的学材属性等），还要找出其中存在的局限性。
学材重构还需要实现静态知识与动态学习两者间的科学调适，不仅包括课前的教学预设，还包括课堂上师生对话时的现场开发。教学过程并非如预设一样一成不变，任何“意外”随时都可能发生，教师应依据动态的教学情境对静态的预设适时进行调控，努力构建教与学双向的共生平衡。当教师和学生一起将静态知识转化为动态的教学体验时，教学才可能达成所需的目标，才可能将静态知识转化为解决问题时所需要的关键能力。
学材重构更为重要的一点就是通过模块化、系统化的教学组织，实现学生从过程性知识到对象性理解的亲历体验过程。亲历体验是深度学习的核心特征，从心理学上讲，体验是指学生作为全身心投入时的个体亲历、体认与验证的过程，经历生理和心理、感性和理性、个体和整体等方面复合交织的情感、态度与价值观的内心活动，让学生获得充分的学习体验，是学生实现深度学习的应然选择和必由之路。为此，只有亲历体验，才能从真正意义上实现学材重构的根本目的——深度学习。在这个过程中，实际上是把学生作为学习的主体进行互动、交流、理解、反思、体悟等活动，实现对知识的接收、重组和内化等过程[4]。
四、学材重构的实践案例
2024年苏教版高中数学必修第一册第3章“基本不等式”一节中，材料的组织是这样的。
材料1 情境设置——由不等臂天平称物的情境引出两个平均数;
材料2 几何解释——引导学生作出长度为ab和a+b2的两条线段，用半圆中的半径与半弦认定二者大小关系;
材料3 证法安排——通过作差、分析法和综合法三种方法进行证明; 材料4 弦图利用——在练习中出现“弦图”进一步理解基本不等式。
对于材料1，不等臂天平秤物并非学生常见的情境，教师需要解释学生才能明白，不仅如此，在处理问题时还需要用到物理中的杠杆原理才能解决。整个过程似乎是为了“发现”这两个平均数而兜了一大圈，最终还是回到通过数值代入来比较两者大小，这样的教学情境并不能反映所学知识的本质。笔者认为缩短发现这两个平均数的过程很有必要，应基于实数的非负性（x2≥0）引入基本不等式，这样比较符合学生的认知规律。学习对象指向精确，减少了因理解情境和表征对象导致的认知负荷，将学习的重心落在如何理性认识并深度认识基本不等式这一核心目标上。
对于材料2，如果没有教师的引导学生在同一个图形（如图1）中作出这样的几何对象是非常困难的，而且从整个认知的路线看，这里也显得突兀。因为从情境中抽象出对象a+b2和ab，再通过数值验证两者的大小关系，这里的认知活动以“推理—演算”为主要的认知方式，教师让学生重新从另一个认知视角（即几何）来验证正处于“模糊”状态下的认知对象，一方面，会导致学生在认知方式的转频上产生间歇性的困难，学生可能会出现思维上的断层，另一方面，按照A·Sfard概念二重性理论，一个概念的形成要从过程开始，然后转变为对对象的认知过程。显然，之前的代数值验证活动是概念认知的过程阶段，这时的认知更多是感性的，而之后的“作图验证”属几何表征，是在获得结论（a+b2≥ab）的基础之上进行的概念认知的对象阶段，很明显这个过程中出现了认知方式上的混乱，这不利于概念的理性建构。笔者认为可以按照这样的认知路径：“不
等式的发现—不等式的证明—不等式的欣赏”，遵循从感性认识到理性认识，再到深度认识的过程。根据逐步认知数学对象的原则，笔者将素材的顺序调整为：发现a+b2≥ab—代入数值进一步验证—运用不同的方法进行證明—从其他角度（几何、函数等）进行欣赏，形成深度理解。
从整个学习单元来看，实数大小关系的基本事实是解决等式、不等式问题的逻辑基础。通过类比等式的性质获得不等式性质，并以此进一步研究基本不等式等是本章的学习主线。因此，研究基本不等式的认知起点应是实数的大小关系。所以作差法应该是证明基本不等式的首选方法，这样的选择体现单元教学的逻辑性，突出知识的生成是之前认知的延续与生长。分析法的核心是从证明的结论出发，逐步寻求使其成立的充分条件。在前一章学习中，学生已经认识到进行证明的逻辑依赖于命题的充要性，而实施分析法的逻辑依据就是本章上一节中的不等式的性质，分析法实际上是在不等式性质的基础上进行的推理展示。证法3实际上是从x∈R，x2≥0出发，通过取x=a-b进行的代数变形。证明方法的选择应充分考虑方法在学生认知系统中的整体性，并且还要考虑选择的方法对学生解决问题时的思维方式形成的影响。所以，三种方法的使用可以调整成如下的组织结构：证法3作为不等式发现的方法——从比较大小的角度选择证法1（作差法）证明——从运用不等式性质及逻辑的角度选择证法2（分析法）证明。那么，这三种方法是不是都要进行讲解？是不是一定要照此来讲解？笔者认为应以单元学习的整体视角来审视证明方法的选择，有什么样的目标定位就选择什么样的证明方法（或方法的组合），教师应灵活整合这些方法进行讲评，不是孤立地将其作为证明的某一种方法进行传授，而应作为整体认知中某一个逻辑点来考量。
弦图是经典的教学素材，其结构精妙，内涵丰富，是数与形完美统一的典范。如果仅仅把赵爽弦图作为问题情境或数学欣赏的素材则大大削弱了其教学功能。学生在初中已借助赵爽弦图研究勾股定理，是从几何图形中构建代数关系的基本活动经验，这些经验
恰好为学生学习基本不等式起到了先行组织者的作用，因此，教师可以引导学生对弦图进行以下探究活动。
探究活动1：如图2，过点E作EH⊥AB于H，则由等积法得到HE=aba2+b2，再取AB的中点M，则ME=a2+b22，由于ME≥HE，即a2+b22≥aba2+b2，平方得a2+b24≥a2b2a2+b2，即a2+b22≥21a2+1b2。
探究活动2：由等积法c=abh≥2h，即ab≥2h2=2a2b2a2+b2=21a2+1b2。 探究活动3：如图3，以AN，BN为邻边向形外作矩形ANBM，O为正方形的中心，所以O，A，M，B四点共圆，其中AB为圆的直径，OM为圆的一条弦，所以OM≤AB。可得OM=a+b2，AB=a2+b2，所以得a+b2≤a2+b22。
由此可得结论：21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22。
上述探究活动和之前通过弦图发现（或几何解释）基本不等式的认知方式一致，是在已有活动经验下进行的探究，而且获得的结论是经典的不等式链，学生很有可能会带着这样的认知经验和鉴赏体验去探求更多更丰富的数学结论，这对学生进行深度认知是有促进作用的。
总之，教材是教学活动开展的行动指南，在教学过程中，教师要理性考量教材中的素材，创造性地使用教材，以学生的认知和数学逻辑来审视教学素材，结合教学的实际情况进行学材重构，真正发挥学材的教育教学价值，促进学生对知识本质的理解。
参考文献：
[1]李善良.教科书：从“教”材到“学”材：苏教版高中数学教科书编写思考[J].中学数学月刊，2024（8）：1-4.
[2]李强，李孟璐.变“教材”为“学材”的几个基本问题[J].教育理论与实践，2011（29）：15-17.
[3]李庾南，冯卫东.学材再建构 在结构中教与学[J].数学通报，2024（8）：17-22，30.
[4]齐欢.数学教学要促进和发展学生的主体性[J].中国教育学刊，2024（1）：106.
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