线性回归中的相关系数

线性回归中的相关系数

线性回归中的相关系数

山东 胡大波

线性回归问题在生活中应用广泛,求解回归直线方程时,应该先判断两个变量就是否就是线性相关,若相关再求其直线方程,判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法就是绘制散点图;另外一种方法就是量化的检验法,即相关系数法.下面为同学们介绍相关系数法. 一、关于相关系数法

统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间的线性相关的强弱,当xi不全为零,yi也不全为零时,则两个变量的相关系数的计算公式就是:

nn r??(xi?1i?x)(yi?y)n?(xi?1n??xyii?1i?nxy2i?x)2?(yi?y)2i?1n2???n2yi2?ny???xi?nx???i?1???i?1???? r就叫做变量y与x的相关系数(简称相关系数).

说明:(1)对于相关系数r,首先值得注意的就是它的符号,当r为正数时,表示变量x,y正相关;当r为负数时,表示两个变量x,y负相关;

，?0.75?,那么负相关 (2)另外注意r的大小,如果r??0.751?,那么正相关很强;如果r???1，?0.30?或r??0.30，0.75?,那么相关性一般;如果r???0.25，0.25?,那么相关很强;如果r???0.75，性较弱.

下面我们就用相关系数法来分析身边的问题,确定两个变量就是否相关,并且求出两个变量间的回归直线. 二、典型例题剖析

例1 测得某国10对父子身高(单位:英寸)如下: 父亲 身高(x) 儿子 身高(y) 60 62 64 65 66 67 68 70 72 74 63、5 65、2 66 65、5 66、9 67、1 67、4 68、3 70、1 70 (1)对变量y与x进行相关性检验;

(2)如果y与x之间具有线性相关关系,求回归直线方程; (3)如果父亲的身高为73英寸,估计儿子身高.

解:(1)x?66.8,y?67,?x?44794,?yi2?44929.22,xy?4475.6,x?4462.24,

2ii?1i?110102y?4489,?xiyi?44836.4,

i?1210

线性回归中的相关系数

所以r??xyii?110i?nxy2n2???102yi2?ny???xi?nx???i?1???i?1????

??44836.4?10?4475.6

(44794?44622.4)(44929.22?44890)80.46730.152?80.4?0.98, 82.0410 所以y与x之间具有线性相关关系. y?a?bx,则b? (2)设回归直线方程为$?xyii?110i?1i?10xy2??xi2?10x44836.4?44756?0.4685,

44794?44622.4a?y?bx?67?0.4685?66.8?35.7042.

y?0.4685x?35.7042. 故所求的回归直线方程为$y?0.4685?73?35.7042?69.9047, (3)当x?73英寸时,$ 所以当父亲身高为73英寸时,估计儿子的身高约为69、9英寸.

点评:回归直线就是对两个变量线性相关关系的定量描述,利用回归直线,可以对一些实际问题进行分析、预测,由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化.这就是此类问题常见题型.

例2 10名同学在高一与高二的数学成绩如下表: x 74 76 71 75 72 71 68 70 76 76 73 79 67 65 70 77 65 62 74 72 y 其中x为高一数学成绩,y为高二数学成绩. (1)y与x就是否具有相关关系;

(2)如果y与x就是相关关系,求回归直线方程. 解:(1)由已知表格中的数据,利用计算器进行计算得

101010?xi?110i?1i?710,?yi?723,x?71,y?72.3,?xiyi?51467.

i?1i?1?xr?2i?50520,?yi2?52541.

i?110

?xyii?11010i?10xy102??2??22x?10xy?10y??i???i??i?1??i?1?

?51467?71?72.3?10(50520?10?71)(52541?10?72.3)22?0.78.

线性回归中的相关系数

由于r?0.78,由0.78?0.75知,有很大的把握认为x与y之间具有线性相关关系. y?a?bx,则 (2)y与x具有线性相关关系,设回归直线方程为$ b??xyii?110i?110i?10xy2??xi2?10x51467?10?71?72.3?1.22,

50520?10?712 a?y?bx?72.3?1.22?71??14.32.

y?1.22x?14.32. 所以y关于x的回归直线方程为$ 点评:通过以上两例可以瞧出,回归方程在生活中应用广泛,要明确这类问题的计算公式、解题步骤,并会通过计算确定两个变量就是否具有相关关系.