它们不在（3）式之内，故（3）式和（6）式得出的H合在一起是H的全部的可能值． 2．与各H值相应的hA的可能值 a.与Hk相应的hA的可能值
由于在求得（3）式时未限定A点的位置，故hA的数值可取0和Hk之间的任意值，即
2?1?T??0?hA?Hk?Hk?g???k?1,2,3,2?2k????? （7）
b.与Hk?（k?为奇数）相应的hA的可能值
?这些数值与A位于特定的位置，?1??2?，相对应，所以对于每一个Hk?对应的hA是一个特
2定值，它们是
1?1T?hA?Hk??g??2?2k??22?1?T???Hk??g???k??1,3,5,2?k?????? （8）
评分标准： 本题23分 二、参考解答： 1．求刚碰撞后小球A、B、C、D的速度 设刚碰撞后，小球A、B、C、D的速度分别为vA、vB、vC、vD，并设它们的方向都与v0的方
向相同．由于小球C位于由B、C、D三球组成的系统的质心处，所以小球C的速度也就是这系统的质心的速度．因碰撞前后四小球组成的质点组的动量守恒，故有 （1） Mv0?MvA?3mvC 碰撞前后质点组的角动量守恒，有 （2） 0?mlvC?2mlvD 这里角动量的参考点设在与B球重合的空间固定点，且规定顺时针方向的角动量为正．因为是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等，有
1112121222Mv0?MvA+mvB?mvC?mvD 22222（3）
因为杆是刚性杆，小球B和D相对于小球C的速度大小必相等，方向应相反，所以有
vB?vC=vC?vD （4）
解（1）、（2）、（3）、（4）式，可得两个解 （5） vC=0 和
vC?4Mv0
5M?6m（6）
因为vC也是刚碰撞后由B、C、D三小球组成的系统的质心的速度，根据质心运动定律，碰撞后这2019-8-5
系统的质心不可能静止不动，故（5）式不合理，应舍去．取（6）式时可解得刚碰撞后A、B、D三球的速度
5M?6mv0
5M?6m10MvB?v0
5M?6m2MvD??v0
5M?6mvA?（7） （8） （9）
2．讨论碰撞后各小球的运动
碰撞后，由于B、C、D三小球组成的系统不受外力作用，其质心的速度不变，故小球C将以（6）式的速度即vC?4M、（8）、（9）式可知，碰撞后，B、v0沿v0方向作匀速运动．由（4）5M?6mvB?vC6Mv0 ?l5M?6mlD两小球将绕小球C作匀角速度转动，角速度的大小为
??（10）
方向为逆时针方向．由（7）式可知，碰后小球A的速度的大小和方向与M、m的大小有关，下面就M、m取值不同而导致运动情形的不同进行讨论： （i）vA=0，即碰撞后小球A停住，由（7）式可知发生这种运动的条件是 即
M6? m5（11）
（ii）vA<0，即碰撞后小球A反方向运动，根据（7）式，发生这种运动的条件是 M6? m5（12）
（iii）vA>0但vA?vC，即碰撞后小球A沿v0方向作匀速直线运动，但其速度小于小球C的速度．由（7）式和（6）式，可知发生这种运动的条件是 即
5M?6m?0和4M?5M?6m
（13）
6m?M?6m 5（iv）vA?vC，即碰撞后小球A仍沿v0方向运动，且其速度大于小球C的速度，发生这种运动的条件是 （14） M?6m
（v）vA?vC，即碰撞后小球A和小球C以相同的速度一起沿v0方向运动，发生这种运动的条件是
（15） M?6m
在这种情形下，由于小球B、D绕小球C作圆周运动，当细杆转过180时，小球D将从小球A的后面与小球A相遇，而发生第二次碰撞，碰后小球A继续沿v0方向运动．根据质心运动定理，2019-8-5
C球的速度要减小，碰后再也不可能发生第三次碰撞．这两次碰撞的时间间隔是
t?π???5M?6m?πl?πl6Mv0v0 （16）
从第一次碰撞到第二次碰撞，小球C走过的路程
d?vCt?2πl 3（17）
3．求第二次碰撞后，小球A、B、C、D的速度
刚要发生第二次碰撞时，细杆已转过180，这时，小球B的速度为vD，小球D的速度为vB．在第二次碰撞过程中，质点组的动量守恒，角动量守恒和能量守恒．设第二次刚碰撞后小球A、B、C、
???D的速度分别为v?、（2）、（3）A、vB、vC和vD，并假定它们的方向都与v0的方向相同．注意到（1）式可得
由杆的刚性条件有 ???v?D?vC?vC?vB ??3mvC? Mv0?MvA??2mlv?0?mlvCB （18） （19） （20） （21）
1111122?2+mvB?2?mvC?2?mv?Mv0?MvAD 22222（19）式的角动量参考点设在刚要发生第二次碰撞时与D球重合的空间点． 把（18）、（19）、（20）、（21）式与（1）、（2）、（3）、（4）式对比，可以看到它们除了小球B和D互换之外是完全相同的．因此它们也有两个解 ??0 vC（22） ??vC4Mv0 5M?6m和
（23）
对于由B、C、D三小球组成的系统，在受到A球的作用后，其质心的速度不可能保持不变，而（23）式是第二次碰撞未发生时质心的速度，不合理，应该舍去．取（22）式时，可解得
v?A?v0 v?B?0 v?D?0
（24）
（25） （26）
（22）、（24）、（25）、（26）式表明第二次碰撞后，小球A以速度v0作匀速直线运动，即恢复到第一次碰撞前的运动，但已位于杆的前方，细杆和小球B、C、D则处于静止状态，即恢复到第一次碰撞前的运动状态，但都向前移动了一段距离d?2πl，而且小球D和B换了位置． 3评分标准：
本题25分．
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三、参考解答：
由
pV??k，??1（1） p B A 可知，当V增大时，p将随之减小（当V减小时，将随之增大），在p?V图上所对应的曲线（过状态大致如图所示．在曲线上取体积与状态B的体积相的状态C． 现在设想气体从状态A出发，保持叶片不动，令活塞缓慢地向右移动，使气体膨胀，由状态A达状态C，在此过程中，外界对气体做功
W?k?11?? ???1???1?VC??1VA?pA）同
C 0 V
而到
（2） 用UA、UC分别表示气体处于状态A、C时的内能，因为是绝热过程，所以内能的增量等于外界对气体做的功，即
UC?UA?k?11?? ???1???1?VC??1VA?（3） 再设想气体处于状态C时，保持其体积不变，即保持活塞不动，令叶片以角速度??做匀速转动，这样叶片就要克服气体阻力而做功，因为缸壁及活塞都是绝热的，题设缸内其它物体热容量不计，活塞又不动（即活塞不做功），所以此功完全用来增加气体的内能．因为气体体积不变，所以它的温度和压强都会升高，最后令它到达状态B．在这过程中叶片转动的时间用?t表示，则在气体的状态从C到B的过程中，叶片克服气体阻力做功
W??L??t （4） 令UB表示气体处于状态B时的内能，由热力学第一定律得
由题知
由（4）、（5）、（6）式得
（7）式加（3）式，得
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UB?UC?VB?pB?pC? ??1?p??1?L?? ?tVUB?UC?L??t
（5）
（6）
（7）
UB?UA?VBk?11?p?p?? ?BC????1???1??1?VC??1VA?（8）
利用pV??k和VC?VB得
UB?UA?1?pV?pAVA? ??1BB（9）
评分标准：
本题23分． 四、参考解答： 答案：uD如图1所示，uB如图2所示．
． 附参考解法： U 二极管可以处在导通和截止两种不同的状态.不管D1和D2处在什么状态，若在时刻t，A点的电压为uA，D点的电压为uD，B点的电压为uB，电容器C1两极板间的电压为uC1，电容器C2两极0 2T T 板间的电压为uC2，则有 －U 0 uT D?uA?uC1 uB?uC2 uD2T （1） （2） （3） （4）
图1 uC1?uA?uD?uC2q1 C图2 q?uB?uG?2 C式中q1为C1与A点连接的极板上的电荷量，q2为C2与B点连接的极板上的电荷量. 若二极管D1截止，D2导通，则称电路处在状态I.当电路处在状态I时有
uD?uBuD?0
（5）
若二极管D1和D2都截止，则称电路处在状态II.当电路处在状态II时有
uD?uBuD?0
（6）
若二极管D1导通，D2截止，则称电路处在状态III.当电路处在状态III时有
uD?uBuD?0
（7）
电路处在不同状态时的等效电路如图3所示. 2019-8-5
第23届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案
