“数学”简介含义起源历史与进展

“数学”简介、含义、起源、历史与进展

数学

数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的简单地说是研究数和形

的科学

由于生活和劳动上的需求即使是最原始的民族也知道简单的计数并由用手指或实物计数发展到用数字计数在中国至迟在商代即已出现用十进制数字表示大数的方法又至迟至秦汉之际即已出现完满的十进位值制在成书不迟于1世纪的《九章算术》中已载有只有位值制才有可能的开平立方的计算法则并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组的方法还引入了负数概念刘徽在他注解的《九章算术》3世纪中还提出过用十进小数表示无理数平方根的奇零部分但直至唐宋时期欧洲则在16世纪S斯蒂文以后十进小数才获通用在这本著作中刘徽又用圆内接正多边形的周长逼近圆周长成为后世求圆周率更精确值的一般方法虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念但在实质上那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法这不仅在应用上不可缺也为数学初期教育所不可少至于继承了巴比伦埃及希腊文化的欧洲地区则偏重于数的性质及这些性质间的逻辑关系的研究早在欧几里得的《几何原本》中即有素数的概念和素数个数无穷及整数惟一分解等论断古希腊发现了有非分数的数即现称的无理数16世纪以来由于解高次方程又出现了复数在近代数的概念更进一步抽象化并依据数的不

同运算规律而对一般的数系统进行独立的理论探讨形成数学中的若干不同分支

开平方和开立方是解最简单的高次方程在《九章算术》中已出现解某种特殊形式的二次方程发展至宋元时代引进了天元即未知数的明确观念出现了求高次方程数值解与求多至四个未知数的高次代数联立方程组的解的方法通称为天元术与四元术与之相伴出现的多项式的表达运算法则以及消去方法已接近于近世的代数学在中国以外9世纪阿拉伯的花拉子米的著作阐述了二次方程的解法通常被视为代数学的鼻祖其解法实质上与中国古代依赖于切割术的几何方法具有同一风格中国古代数学致力于方程的具体求解而导源于古希腊埃及传统的欧洲数学则不同一般致力于探究方程解的性质16世纪时F韦达以文字代替方程系数引入了代数的符号演算对代数方程解的性质的探讨则从线性方程组导致行列式矩阵线性空间线性变换等概念与理论的出现从代数方程导致复数对称函数等概念的引入以至伽罗瓦理论与群论的创立而近代极为活跃的代数几何则无非

是高次联立代数方程组解所构成的集体的理论研究

形的研究属于几何学的范畴古代民族都具有形的简单概念而往往以图画来表示形之成为数学对象是由工具的制作与测量的要求所促成规矩以作圆方中国古代夏禹治水时即已有规矩准绳等测量工具《墨经》中对一系列的几何概念有抽象概括作出了科学的定义《周髀算经》与刘徽《海岛算经》给出了用矩观天测地的一般方法与具体公式在《九章算术》及刘徽注解的《九章算术》中除勾股理论外还提出了若干一般原理以解多种问题例如出入相补原理以求任意多边形面积阳马鳖臑的二比一原理刘徽原理以求多面体的体积5世纪祖暅提出幂势既同则积不容异的原理以求曲形体积特别是球的体积还有以内接正多边形逼近圆周长的极限方法割圆术但自五代约10世纪以后中国在几何学方面的建树不多中

国几何学以测量与面积体积的量度为中心古希腊的传统则重视形的性质与各种性质间的相互关系欧几里得的《几何原本》建立了用定义公理定理证明构成的演绎体系成为近代数学公理化的楷模影响及于整个数学的发展特别是平行公理的研究导致了19世纪非欧几里得几何学的产生欧洲自文艺复兴时期起出现了射影几何学18世纪G蒙日应用分析方法于形的研究开微分几何学的先河com面论与GFB黎曼的流形理论开创了脱离周围空间以形作为独立对象的研究方法19世纪CF克莱因以群的观点对几何学进行统一处理此外如GFP康托尔的点集理论扩大了形的范围J-H庞加莱创立了拓扑学使形的连续性成为几何研究的对象这些都

使几何学面目一新

在现实世界中数与形如影之随形难以分割中国的古代数学反映了这一客观实际数与形从来就是相辅相成并行发展的例如勾股测量提出了开平方的要求而开平立方的方法又奠基于几何图形的考虑二次三次方程的产生也大都来自几何与实际问题至宋元时代由于天元与相当于多项式概念的引入出现了几何代数化在天文与地理中的星表与地图的绘制已用数来表示地点不过并未发展到坐标几何的地步在欧洲14世纪N奥尔斯姆的著作中已有关于经纬度与函数图形表示的萌芽而17世纪R笛卡儿提出了系统的把几何事物用代数表示的方法及其应用在其启迪之下comI牛顿等的工作发展成了现代形式的坐标制解析几何学使数与形的统一更臻完美不仅改变了几何证题过去遵循欧几里得几何的老方法还引起了导数的产生成为微积分学产生的根源这是数学史上的一件大事在20世纪中由于科学与技术上的要求促使数学家们研究运动与变化包括量的变化与形的变换如投影还产生了函数概念和无穷小分析即现在的微积分使数学从此进入了一个研究变量的新时代18世纪以来以解析几何与微积分这两个有力工具的创立为