难点9 指数函数、对数函数问题
指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一,本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.
●难点磁场
11?x,F(x)=+f(x).
2?x1?x(1)试判断函数f(x)的单调性,并用函数单调性定义,给出证明；
(★★★★★)设f(x)=log2
(2)若f(x)的反函数为f1(x),证明：对任意的自然数n(n≥3),都有f1(n)>
－
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n; n?1(3)若F(x)的反函数F1(x),证明：方程F1(x)=0有惟一解. ●案例探究
［例1］已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点,分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.
(1)证明：点C、D和原点O在同一条直线上； (2)当BC平行于x轴时,求点A的坐标.
命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识,考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.
知识依托：(1)证明三点共线的方法：kOC=kOD.
(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想,只要得到方程(1),即可求得A点坐标. 错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题. 技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A的坐标.
(1)证明：设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知：x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上,所以
log8x1log8x2,点C、D坐标分别为?x1x2(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1=
log8x1log8x2=3log8x1,log2x2??3log8x2,所以OC的斜log82log82率：k1=
log2x13log8x1, ?x2x1log2x23log8x2,由此可知：k1=k2,即O、C、D在同一条直线上. ?x2x2OD的斜率：k2=
(2)解：由BC平行于x轴知：log2x1=log8x2 即：log2x1=
1log2x2,代入x2log8x1=x1log8x23得：x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.又x1>1,∴x1=3,则点A的坐标为(3,log83).
［例2］在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数n点Pn
位于函数y=2000(
ax
)(0 (1)求点Pn的纵坐标bn的表达式； (2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形,求a的取值范围； (3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数,问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由. 命题意图：本题把平面点列,指数函数,对数、最值等知识点揉合在一起,构成一个思维难度较大的综合题目,本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级 题目. 知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识. 错解分析：考生对综合知识不易驾驭,思维难度较大,找不到解题的突破口. 技巧与方法：本题属于知识综合题,关键在于读题过程中对条件的思考与认识,并会运用相关的知识点去解决问题. an?1解：(1)由题意知：an=n+,∴bn=2000()2. 210ax )(0 1010(2)∵函数y=2000( 或a>5(5－1).∴5(5－1) (3)∵5(5－1) 17n?∴bn=2000()2.数列{bn}是一个递减的正数数列,对每个自然数n≥2,Bn=bnBn－1.于是 10当bn≥1时,Bn 17n?2且bn+1<1,由bn=2000()≥1得：n≤20.8.∴n=20. 10●锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法有： (1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用. (2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力. (3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)定义在(－∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,如果f(x)=lg(10x+1),其中x∈(－∞,+∞),那么( ) －A.g(x)=x,h(x)=lg(10x+10x+2) 111［lg(10x+1)+x］,h(x)= ［lg(10x+1)－x］ 22xxC.g(x)=,h(x)=lg(10x+1)－ 22xxD.g(x)=－,h(x)=lg(10x+1)+ 222.(★★★★)当a>1时,函数y=logax和y=(1－a)x的图象只可能是( ) B.g(x)= 二、填空题 3.(★★ ★ ★ ★ ) 已 知 函 数 ?2x (x?0)－ f(x)=?.则f-1(x－1)=_________. ?log2(?x) (?2?x?0)4.(★★★★★)如图,开始时,桶1中有a L水,t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y= －－aent,那么桶2中水就是y2=a－aent,假设过5分钟时,桶1和桶2的水相等,则再过_________分钟桶1中的水只有 a. 8三、解答题 5.(★★★★)设函数f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1),当 点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时,点Q(x－2a,－y)是函数y=g(x)图象上的点. (1)写出函数y=g(x)的解析式； (2)若当x∈［a+2,a+3］时,恒有|f(x)－g(x)|≤1,试确定a的取值范围. 6.(★★★★)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x1,x2∈(0,+∞),判断［f(x1)+f(x2)］与f( 12x1?x2)的大小,并加以证明. 27.(★★★★★)已知函数x,y满足x≥1,y≥1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0且a≠1),求loga(xy)的取值范围. 8.(★★★★)设不等式2(logf(x)=(log2 12x)2+9(log1x)+9≤0的解集为M,求当x∈M时函数 2xx)(log2)的最大、最小值. 28参考答案 难点磁场 解：(1)由 1?x>0,且2－x≠0得F(x)的定义域为(－1,1),设－1＜x1＜x2＜1,则 1?x1?x21?x111)+(log2) ??log22?x22?x11?x21?x1F(x2)－F(x1)=( ?x2?x1(1?x1)(1?x2), ?log2(2?x1)(2?x2)(1?x1)(1?x2)∵x2－x1>0,2－x1>0,2－x2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1. 因此F(x2)－F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(－1,1）上是增函数. 2y?11?xy1?x(2)证明：由y=f(x)=log2得：2=, ,x?y1?x1?x2?12x?1－ ∴f(x)=x,∵f(x)的值域为R,∴f-1(x)的定义域为R. 2?1－1 当n≥3时,f-1(n)> n2n?1n21?n??1?n?1??2n?2n?1. n?1n?12?1n?12?1用数学归纳法易证2n>2n+1(n≥3),证略. 111－－－ ,∴F1()=0,∴x=是F1(x)=0的一个根.假设F1(x)=0还有一个解22211x0(x0≠),则F-1(x0)=0,于是F(0)=x0(x0≠).这是不可能的,故F-1(x)=0有惟一解. 22歼灭难点训练 一、1.解析：由题意：g(x)+h(x)=lg(10x+1) ① －－又g(－x)+h(－x)=lg(10x+1).即－g(x)+h(x)=lg(10x+1) ② xx由①②得：g(x)=,h(x)=lg(10x+1)－. 22答案：C 2.解析：当a>1时,函数y=logax的图象只能在A和C中选,又a>1时,y=(1－a)x为减函数. 答案：B (3)证明：∵F(0)=二、3.解析：容易求得f- －1 ?log2x (x?1)(x)=?x,从而： ??2 (x?1)?log2(x?1),(x?2)f(x－1)=?x?1 ?2, (x?2).?－1 ?log2(x?1),(x?2)答案：?x?1 ??2, (x?2)4.解析：由题意,5分钟后,y1=ae只有 －nt ,y2=a－ae －nt ,y1=y2.∴n= 1ln2.设再过t分钟桶1中的水5aa－ ,则y1=aen(5+t)=,解得t=10. 88答案：10 三、5.解：(1)设点Q的坐标为(x′,y′),则x′=x－2a,y′=－y.即x=x′+2a,y=－y′. ∵点P(x,y)在函数y=loga(x－3a)的图象上,∴－y′=loga(x′+2a－3a),即y′=loga 1,2x?a∴g(x)=loga 1. x?a11=>0,又a>0且a≠1,∴0＜a＜x?a(a?3)?a(2)由题意得x－3a=(a+2)－3a=－2a+2>0;1,∵|f(x)－g(x)|=|loga(x－3a)－loga 1|=|loga(x2－4ax+3a2)|·|f(x)－g(x)|≤1,∴－1≤loga(x2 x?a－4ax+3a2)≤1,∵0＜a＜1,∴a+2>2a.f(x)=x2－4ax+3a2在［a+2,a+3］上为减函数,∴μ(x)=loga(x2－4ax+3a2)在［a+2,a+3］上为减函数,从而［μ(x)］max=μ(a+2)=loga(4－4a),［μ?0?a?1?(x)］min=μ(a+3)=loga(9－6a),于是所求问题转化为求不等式组?loga(9?6a)??1的解. ?log(4?4a)?1?a9?574,由loga(4－4a)≤1解得0＜a≤, 1259?57∴所求a的取值范围是0＜a≤. 126.解：f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2, x?x22 ∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤(1)(当且仅当x1=x2时取“=”号), 2x?x22 当a>1时,有logax1x2≤loga(1), 2x?x21x?x21∴logax1x2≤loga(1),(logax1+logax2)≤loga1, 2222x?x21即[f(x1)+f(x2)］≤f(1)(当且仅当x1=x2时取“=”号) 22x?x22 当0＜a＜1时,有logax1x2≥loga(1), 2x?x2x?x211∴(logax1+logax2)≥loga1,即［f(x1)+f(x2)］≥f(1)(当且仅当x1=x2时取“=”2222号）. 7.解：由已知等式得：loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax－1)2+(logay－1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐标系uOv内,圆弧(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0)与平行直线系v=－u+k有公共点,分两类讨论. 由loga(9－6a)≥－1解得0＜a≤ (1)当u≥0,v≥0时,即a>1时,结合判别式法与代点法得1+3≤k≤2(1+2); (2)当u≤0,v≤0,即0＜a＜1时,同理得到2(1－2)≤k≤1－3.x综上,当a>1时,logaxy的最大值为2+22,最小值为1+3；当0＜a＜1时,logaxy的最大值为1－3,最小值为2－22. 8.解：∵2(log1x)2+9(log1x)+9≤0 22
高考数学难点突破__指数、对数函数
