圆的方程
【知识要点】
一、圆的标准方程
1、圆的定义
圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 由此我们可知：以点C(a,b)为圆心，以
r为半径的圆的标准方程为(x?a)2?(y?b)2?r2.
2、圆的标准方程的推导
设圆心为C(a,b)，半径为r，点M满足的条件为P??MMC?r?. 由两点距离公式可知，点M(x,y)满足的条件为(x?a)2?(y?b)2?r. 把上式两边平方，得：(x?a)2?(y?b)2?r2 即圆的彼岸准方程为(x?a)2?(y?b)2?r2.
3、圆的标准方程的特点
圆的标准方程显示了圆心的位置和半径的大小. 确定圆的要素有两个：圆心和半径，其中圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小. 在确定圆的过程中，如果由已知条件容易求出圆心坐标和半径或需要利用圆心、半径的有关条件列方程时，一般利用圆的标准方程求解.
4、圆的几个特殊位置的标准方程
（1）圆心在原点O(0,0)，半径为r的圆的标准方程为x2?y2?r2；
（2）半径为r且与x轴相切于点(a,0)的圆的标准方程为(x?a)2?(y?r)2?r2； （3）半径为r且与y轴相切于点(0,b)的圆的标准方程为(x?r)2?(y?b)2?r2；
（4）半径为r且与x轴、y轴都相切的圆的标准方程为(x?r)2?(y?r)2?r2.
二、圆的一般方程
1、方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件
二元二次方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件为： ①A?C?0； ②B?0；
③D2?E2?4AF?0.
其中，条件①与条件②皆为二元二次方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的必要条件. 因为若二元二次方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0仅满足条件①与条件②，那么二元二次方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0可以转化为
x2?y2?DEFx?y??0. AAAD2E2D2?E2?4AF)?(y?)?对上式配方可得：(x? 2A2A4A2（i）当D2?E2?4AF?0时，原方程表示一个点(?DE,?)； 2A2A（ii）当D2?E2?4AF?0时，原方程不表示任何图形； （iii）当D2?E2?4AF?0时，原方程表示一个圆，其圆心为C(?半径为r?
2、圆的一般方程
二元二次方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件为：D2?E2?4F?0. 对二元二次方程x2?y2?Dx?Ey?F?0，配方可得：
D2E2D2?E2?4F(x?)?(y?)?
224DE,?)，2A2AD2?E2?4AF.
2A（i）当D2?E2?4F?0时，原方程表示一个点(?DE,?)； 22（ii）当D2?E2?4F?0时，原方程不表示任何图形； （iii）当D2?E2?4F?0时，原方程表示一个圆，其圆心为C(?为r?D2?E2?4F.
2DE,?)，半径22因而，当D2?E2?4F?0时，我们把方程x2?y2?Dx?Ey?F?0叫作圆的一般方程.
3、圆的标准方程与圆的一般方程之间的互化 （1）圆的一般方程化为圆的标准方程：
把圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0（注意隐含条件：D2?E2?4F?0）
D2E2D2?E2?4F配方可得圆的标准方程：(x?)?(y?)?；
224（2）圆的标准方程化为圆的一般方程：
把圆的标准方程：(x?a)2?(y?b)2?r2展开可得圆的一般方程：
x2?y2?2ax?2by?a2?b2?r2?0.
三、点与圆的位置关系
1、平面内一点与圆的位置关系的判定
已知圆的方程为(x?a)2?(y?b)2?r2，显然圆心为C(a,b)，半径为r，那么平面内一点P(x0,y0)与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有： （1）点P在圆上?(x0?a)2?(y0?b)2?r2?PC?r； （2）点P在圆内?(x0?a)2?(y0?b)2?r2?PC?r； （3）点P在圆外?(x0?a)2?(y0?b)2?r2?PC?r.
2、平面内一点到圆上的点的最大距离与最小距离
平面内一点P到圆上的点的最大距离为PC?r；点P到圆上的点的最小距离为
PC?r（其中，C为圆的圆心，r为圆的半径）.
四、确定圆的方程的方法
确定圆的方程的重要方法是待定系数法.
1、如果已知条件中圆心的位置易于确定，则可以选择圆的标准方程列方程组、求系数，即列出关于a、b、r的方程组，求出a、b、r的值，或直接求出圆心(a,b)及半径r. 一般步骤如下：
Step 1：根据题意，设所求圆的标准方程为(x?a)2?(y?b)2?r2； Step 2：根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；
Step 3：求解这个方程组，并把它们代入前面所设的方程中去，整理后，即可得到所要求的圆的方程.
【注】运用待定系数法去求圆的标准方程时，应尽量利用圆的几何性质去确定其圆心(a,b)及半径r，这样的话，将会大大减少计算量. 一般可以利用圆心的三个几何性质：
①圆心在过切点且垂直于切线的直线上； ②圆心在某一条弦的垂直平分线上；
③圆心在圆的任意一条直径上，且为直径的中点.
2、如果已知条件中圆心的位置不确定或难以确定，则可以选择圆的一般方程列方程组、求系数. 在圆的一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0中，含有三个相互独
立的参数D、E、F，因此，必须具备三个独立的条件才能通过列出关于D、E、
F的方程组，求出D、E、F的值，最终确定出圆的一般方程. 一般步骤如下：
Step 1：根据题意，设所求圆的一般方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0； Step 2：根据已知条件，建立关于D、E、F的方程组；
Step 3：求解这个方程组，并把它们代入前面所设的方程中去，整理后，即可得到所要求的圆的方程.
五、圆的直径式方程的求法
设A(x1,y1)、B(x2,y2)是圆的某条直径的两个端点，P(x,y)为圆上任意异于点A、
B的一点，则?APB?90o，即PA?PB，于是有kPA?kPB??1，而kPA?y?y1，x?x1kPB?y?y2y?y1y?y2???1，故有(x?x1)(x?x2)?(y?y2)(y?y2)?0，此，?x?x2x?x1x?x2即圆的直径式方程.
六、常见的圆系方程
1、过定直线与定圆的交点的圆系方程
过定直线l：Ax?By?C?0和定圆x2?y2?Dx?Ey?F?0的交点的圆系方程为
x2?y2?Dx?Ey?F?a(Ax?By?C)?0.
2、过两圆的交点的圆系方程
过两圆x2?y2?D1x?E1y?F1?0和x2?y2?D2x?E2y?F2?0的交点的圆系方程为x2?y2?D1x?E1y?F1??(x2?y2?D2x?E2y?F2)?0，特别地，当???1时，该方程表示两圆公共弦所在直线的方程.
圆的方程
